Rotman透镜多波束形成网络的数值分析

图1　微带线及其等效的平板波导模型

　　为了使该等效模型能反映高阶模的效应，在整个频带内均适用，我们考虑了等效参数的色散效应，动态等效介电常数εe(f)和等效宽度we(f)随频率变化的关系为［2］：

　(1)
　(2)

其中εeff和weff分别为静态等效介电常数和等效宽度，fT是最低阶模的截止频率，定义为：

　(3)

式中c为自由空间的光速，Δw代表微带边缘的边缘场效应.对于不同的宽高比w/h,Z0和εeff的表达式也不尽相同，本文采用Gupta的经验公式［3］计算Z0,εeff和Δw.静态等效宽度weff可由下式确定：

　(4)

计算出fT、εeff和weff后，就可根据式(1)，(2)求出不同频率时的εe(f)和we(f)，由此可将微带线等效为相应的平面波导模型.对于图2所示的微带型Rotman透镜，其等效平板波导模型应为原透镜的相似形.当透镜的形状确定后，其所有端口的宽度就可以知道，利用前述方法可求出每个端口的等效宽度，再以这些等效端口宽度作为约束条件，并保持透镜的中心不变且等效轮廓的每一段均平行于原透镜的相应段，求原透镜的相似形就可得到满足以上频率色散效应的等效平板波导模型的轮廓，以下的分析均是针对此等效模型进行的.

图2　Rotman透镜示意图

三、多模式散射参数及高阶模式的处理
　　如图2所示，Rotman透镜的轮廓由输入端口(波束口)，输出端口(阵列口)及虚端口三部分组成.由于介质厚度非常小，可近似认为在垂直于导体表面的z方向场无变化，因此只有Ez,Hx和Hy三个分量不为零.由二维Hemholtz方程推得透镜腔边缘的电场分布可由下面的轮廓积分方程来描述［4，5］：

　(5)

其中H(2)0和H(2)1表示第二类零阶和一阶汉克尔函数，s和s′分别表示轮廓c上的场点和源点，r=r是从点s到s′的向量，是s′处的外法线方向，kd是介质中的波数.
　　由于透镜形状的任意性，须对式(5)中的围线积分进行离散化处理.将透镜轮廓分割为足够多的N段，近似认为每一段为直线.令场点sm位于第m段上，源点s′n位于第n段上，根据式(5)，sm处的场可写为：

　(6)

因为透镜腔内只有Ez,Hx,Hy三个分量不为零，因而在与其相连的平面波导中，只有TEp0(p=0,1,2,…)模式存在，用这些正交模式函数来表示端口上的场分布(即M个模式)：

　(7)

式中Akp和Bkp分别表示在第k个端口处入射和反射的p阶模，Ykp和γkp分别为其模式导纳和传播常数，wk是第k个端口的宽度，εp为纽曼常数，当p=0(对应TEM模)时，εp=1,p≠0时，εp=2.采用本地坐标系统分析各端口，则由式(7)可得下式：

　(8)

根据式(7)写出Ez(sm)和Ez(s′n)的展开式，与式(8)一起代入式(6)可得：

　(9)

采用Galerkin法，取权函数，与上式两边取内积，并化简可得：

　(10)

其中：

　(11)
　(12)

当m≠n即场点和源点位于不同区域时，上两式的二重积分可用数值积分法方便地求得，当m=n即场点和源点位置于同一区域时，Gmnij=0，而Fmnij出现奇异性，可用变量代换结合奇异点去除法巧妙求解［6］.
　　为了便于处理高阶模，需将端口序号重新排列.令主模对应的端口为1～N，高阶模对应的端口按模式由低到高从N+1至N×M编号，将式(10)中的求和交换次序，并写成一矩阵方程，可得：

CB=DA　(13)

其中矩阵C和D的元素分别为：

Ckl=(Ynj)-1(γnjFmnij-kdGmnij),
Ckk=(Ynj)-1(γnjFmnij-kdGmnij)+j2/Ymi　(14)
Dkl=(Ynj)-1(γnjFmnij+kdGmnij),
Dkk=-j2/Ymi+(Ynj)-1(γnjFmnij+kdGmnij),
　　　k=1,2,…,N×M,l=1,2,…,N×M　(15)

A、B分别代表如下的列矢量：

A=［A10A20…AN0　A11…AN1…A1M-1…ANM-1］T　(16)
B=［B10B20…BN0　B11…BN1…B1M-1…BNM-1］T　(17)

其中Akp和Bkp分别表示第k个端口第p阶模的入射波和反射波.解式(13)的矩阵方程可得Rotman透镜的多模式散射矩阵：

S=C-1D　(18)

　　通常情况下，透镜端口通过渐变线连接到只传输主模的传输线上，端口激励起的高阶模式的能量在渐变线内不断反射回透镜腔，最终只有主模传播.我们把这些凋落的高阶模看作透镜这个多端口网络的加载.第m个端口的第i阶模的特性阻抗Zm0i可用下式计算［7］：

　(19)

则第m个端口的第i阶模对应的负载反射系数为：

Γ(i-1)N+m=(Zm0i-Zm0)/(Zm0i+Zm0)　(20)

其中Zm0为相应端口的等效平面波导的特性阻抗.设在所有N×M个端口中，主模对应的第1～N个端口为Ⅰ区，其余(M-1)×N个高阶模式对应的端口N+1～N×M为第Ⅱ区，则由主模激励，高阶模加载的透镜的单模散射矩阵［Sm］可由式(18)得到的多模式S矩阵的元素按下式求出［8］：

［Sm］=［SⅡ］+［SⅠ Ⅱ］{［Γ］-1-［SⅡ Ⅱ］}-1［SⅡ Ⅰ］　(21)

其中［Γ］为由高阶模式端口N+1～N×M的负载反射系数组成的对角矩阵.

四、算例与讨论
　　利用以上方法计算了图3所示的32×32元Rotman透镜，并与实验结果做了对比.它有32个输入端口，32个输出端口和16个虚负载端口，焦角α=35°，扫描角β=45°，介电常数εr=2.2，基片厚度d=1mm.由于透镜端口较多，我们只以最具代表性的边缘波束口1和中心波束口16为例，给出透镜在中间频率f=12GHz下，这两个端口激励时输出端口的幅度和相位分布，这些计算结果均是取4个展开模式函数得到的.

图3　计算和实验所用的32×32元Rotman透镜

　　图4(a)中方框线代表波束口1激励时，实验测得的输出端口的幅度分布，圆圈线为理论计算的结果，图4(b)为相应的相位分布.图5(a)和5(b)分别为中心波束口16激励时，输出端口的幅度和相位分布.由图可见，边缘端口的幅度起伏比较大，而中心端口的幅度较为平稳，而无论对于边缘端口还是中心端口，实验结果与计算结果均吻合得很好，除个别点外，幅度误差通常在0.5dB左右，相位误差一般在十度以下，证明了本文方法的正确性和有效性.本例的透镜由于焦角选择得比较合适，因而虽然输入端口较多，但相互之间的耦合很小，隔离较好，由表1给出的波束口1和16与其他波束口之间的隔离度即可看出这一点.

图4　(a)输入端口1激励时输出端口的幅度分布;(b)输入端口1激励时输出端口的相位分布

图5　(a)输入端口16激励时输出端口的幅度分布；(b)输入端口16激励时输出端口的相位分布

表1　输入端口之间的隔离度