遗传算法的模式理论

导遗传算法的基本理论，是J.H.Holland教授创立的模式理论。该理论揭示
    了遗传算法的基本机理。
 3.1  基本概念
 3.1.1  问题的引出
   
       例： 求   max  f(x)=x2      x {0,31}
[分析]
     •  当编码的最左边字符为“1”时，其个体适应度较大，如2号个体和4号个体，
         我们将其记为 “ 1**** ”；
         其中2号个体适应度最大，其编码的左边两位都是1，我们记为 “ 11*** ”；
     •  当编码的最左边字符为“0”时，其个体适应度较小，如1号和3号个体，
         我们记为 “ 0**** ”。
   [结论]
         从这个例子可以看比，我们在分析编码字符串时，常常只关心某一位或某几位字符，而对其他字符不关心。换句话讲．我们只关心字符的某些特定形式，如
       1****，11***，0****。这种特定的形式就叫模式。

 3.1.2  模式、模式阶及模式定义长度
    
     模式(Schema)——指编码的字符串中具有类似特征的子集。
                                     以五位二进制字符串为例，
                                     模式  *111*   可代表4个个体： 01110，01111，11110，11111；
                                     模式  *0000  则代表2个个体：10000，00000  。

•  个体是由二值字符集 V={0, 1} 中的元素所组成的一个编码串;
       •  而模式却是由三值字符集  V={0, 1,* } 中的元素所组成的一个编码串，其中
           “ * ” 表示通配符，它既可被当作 “1” 也可被当作 “0”。

模式阶 (Schema Order)
        ——指模式中已有明确含意(二进制字符时指0或1)的字符个数，
                记做 o(s)，式中 s 代表模式。
                例如，模式 ( 011*1** ) 含有4个明确含意的字符，其阶次是4，
                            记作 o( 011*1** ) =4;
                            模式 ( 0****** ) 的阶次是1，记作 o( 0****** ) =1。

         •  阶次越低，模式的概括性越强，所代表的编码串个体数也越多，反之亦然；
         •  当模式阶次为零时，它没有明确含义的字符，其概括性最强。

模式的定义长度( Schema Defining  Length)
        ——指模式中第一个和最后一个具有明确含意的字符之间的距离，记作 (s)。
                例如，模式( 011*l** ) 的第一个字符为0，最后一个字符为l，中间有3个字
                            符，其定义长度为4，记作  ( 011*l** ) = 4 ；
                            模式 ( 0****** ) 的长度是0，记作  ( 0****** ) = 0 ；
•  一般地，有式子
                      (s)＝b – a
            式中     b—模式s 中最后一个明确字符的位置;
                         a—模式s 中最前一个明确字符的位置。
 
     •  模式的长度代表该模式在今后遗传操作(交叉、变异)中被破坏的可能性：
        模式长度越短，被破坏的可能性越小，长度为0的模式最难被破坏。

3.1.3  编码字符串的模式数目
 
   (1)  模式总数
       •   二进制字符串
             假设字符的长度为l，字符串中每一个字符可取( 0, 1, * ) 三个符号中任意
         一个，可能组成的模式数目最多为：
                           3  3  3  …  3 = (2+1)l
       • 一般情况下，
             假设字符串长度为l，字符的取值为 k 种，字符串组成的模式数目 n1 最多   
          为：         n1=(k+1)l
(2)  编码字符串（一个个体编码串）所含模式总数
     •  二进制字符串
           对于长度为l的某二进制字符串，它含有的模式总数最多为：
                   2  2  2  …  2 = 2l
           [注意]
                 这个数目是指字符串已确定为0或1，每个字符只能在已定值 (0/1)或
                  * 中选取；
                  前面所述的 n1 指字符串未确定，每个字符可在{0, 1, * }三者中选取。
   
     •  一般情况下
           长度为l、取值有 k 种的某一字符串，它可能含有的模式数目最多为：
                          n2 = kl

 (3)  群体所含模式数
            在长度为l，规模为M的二进制编码字符串群体中，一般包含有2l ~ M · 2l个
         模式。
3.2  模式定理      

         由前面的叙述我们可以知道，在引入模式的概念之后，遗传算法的实质可看
     作是对模式的一种运算。对基本遗传算法(GA)而言，也就是某一模式s 的各个
     样本经过选择运算、交义运算、变异运算之后，得到一些新的样本和新的模式。

3.2.1  复制时的模式数目
           这里以比例选择算子为例研究。
   
    [公式推导]
       (1) 假设在第t次迭代时, 群体P(t)中有M个个体, 其中m个个体属于模式s, 记作m(s,t)。

       (2) 个体 ai 按其适应度 fi 的大小进行复制。
            从统计意义讲，个体ai被复制的概率pi是：
(3)  因此复制后在下一代群体 P(t+1)中，群体内属于模式s（或称与模式s匹配）
      的个体数目 m(s,t+1) 可用平均适应度按下式近似计算：