迭代映射电路将产生混沌现象

　　你啥电路都见过的吗？下面这个电路可以用作随机数发生器，混沌现象的真实演示器，来瞧一瞧吧！

　　下图所示的设计实例是迭代单峰映射的一种简单实现，让人想起研究非线性动力学时遇到的逻辑斯谛映射或费尔哈斯（Verhulst）映射。它可以用来向学生展示混沌离散时间动力学，或作为随机数发生器。具体的电路实现是：Vk+1 = rF（Vk），其中F是用图中灰线框内的电路实现的非线性单峰函数（一个“凸块”）。这个电路的响应显示在Vout与Vin关系图中。

图1：Q1单峰函数电路的响应

　　r是U1b提供的增益因子。U1a和U3a只是缓冲器。在时钟信号的低电平期间，这个非线性函数的输出电压存储在C1上。当时钟切换到高电平时，这个电压将被传递到C2，然后用作单峰函数的下一个输入。电路的供电电压是12V。S3 （¼ 4066）用作反相器。

图2：原理图

　　在低增益设置（r）情况下，迭代将初始的零电压作为稳定平衡态：V* = rF（V*）。通过提高增益，电路从稳定平衡态转向n周期振荡。n周期振荡的迭代反复可以看作n次迭代映射的平衡态，比如对3周期振荡来说V* =rF（rF（rF（V*）））。第一个示波器的屏幕截图显示了r=4.7时的情况。

图3：r=4.7时的行为（红线：Vk，蓝线：时钟）

　　进一步提高增益将导致混沌现象。理论上每个初始状态或起始电压都将导致永不重复的迭代顺序。对这种迭代式混沌系统来说逻辑斯谛映射xn+1 = rxn（1-xn）是已知最好的模型，它使用的是抛物线函数。然而事实表明，任何单峰映射，包括像模映射这样的非连续映射或像帐篷映射那样的非平滑映射，都会导致混沌现象，因此需要使用晶体管Q1周边的简单电路。

图4：r=6.7时的行为，需要将示波器持续时间设为无限，并在尽可能接近所获电压峰值时触发

　　图4显示了确定性混沌事件的关键属性：对初始状态的敏感依赖。接近（但稍稍不等于）的起始条件（触发电压）在经过几次更新后将导致分散的迭代序列。一般来讲，存在一种“事件视界”。预测下一次迭代很容易，但预测当前状态之后的第二十次迭代几乎是不可能的，因为我们到时必须很精确地知道起始条件。重要的是，即使这个系统可以做到没有噪声（就像理论上的逻辑斯谛映射一样），它还是会输出一个混沌序列。

　　至于应用，这个电路可以用作随机数发生器，混沌现象的真实演示器，还可以让那些声称啥电路都见过的书呆子们开开眼。