FFT算法的应用

FFT算法的应用

一． 数字滤波器设计：
（一）基—2按时间抽取FFT算法
对于有限长离散数字信号{x[n]}，0  n  N-1，其离散谱{x[k]}可以由离

散付氏变换（DFT）求得。DFT的定义为
可以方便的把它改写为如下形式：
不难看出，WN是周期性的，且周期为N，即

WN的周期性是DFT的关键性质之一。为了强调起见，常用表达式WN取代W以便明确其周期是N。
由DFT的定义可以看出，在x[n]为复数序列的情况下，完全直接运算N点DFT需要（N-1）2次复数乘法和N（N-1）次加法。因此，对于一些相当大的N值（如1024）来说，直接计算它的DFT所作的计算量是很大的。FFT的基本思想在于，将原有的N点序列序列分成两个较短的序列，这些序列的DFT可以很简单的组合起来得到原序列的DFT。例如，若N为偶数，将原有的N点序列分成两个（N/2）点序列，那么计算N点DFT将只需要约[(N/2)2 •2]=N2/2次复数乘法。即比直接计算少作一半乘法。因子（N/2）2表示直接计算（N/2）点DFT所需要的乘法次数，而乘数2代表必须完成两个DFT。上述处理方法可以反复使用，即（N/2）点的DFT计算也可以化成两个（N/4）点的DFT（假定N/2为偶数），从而又少作一半的乘法。这样一级一级的划分下去一直到最后就划分成两点的FFT运算的情况。比如，一个N = 8点的FFT运算按照这种方法来计算FFT可以用下面的流程图来表示：

关于蝶形结运算的具体原理及其推导可以参照讲义，在此就不再赘述。按频率抽取的FFT的原理也可查阅相关资料，这里就不再推导了。

二． 使用到的MATLAB命令：
函数fft(x)可以计算R点序列的R点DFT值；而fft(x,N)则计算R点序列的N点DFT，若R>N，则直接截取R点DFT的前N点，若R<N，则x先进行补零扩展为N点序列再求N点DFT。函数ifft(X)可以计算R点的谱序列的R点IDFT值；而ifft(X,N)同fft(x,N)的情况。

四、实验目的：
离散傅氏变换（DFT）的目的是把信号由时域变换到频域，从而可以在频域分析处理信息，得到的结果再由逆DFT变换到时域。FFT是DFT的一种快速算法。在数字信号处理系统中，FFT作为一个非常重要的工具经常使用，甚至成为DSP运算能力的一个考核因素。
本实验通过使用MATLAB函数中的FFT命令计算离散时间信号的频谱，以加深对离散信号的DFT的理解及其FFT算法的运用。
五、实验内容：
(1) 计算一个实数序列 的1024点FFT，注意使用将此序列组合成一复数序列后再计算的方法。
(2) 分别计算两个实数序列 和 的128点FFT，注意使用将此二序列组合成一复数序列后再计算的方法。
(3) 利用DFT的方式计算下面两序列的线性卷积：
g[n]={3, 4, -2, 0, 1, -4},h[n]={1, -3, 0, 4, -2, 3}
六、实验器材（设备、元器件）：
七、实验步骤：
对实验内容中给定的序列求给定点数N的FFT和IFFT，利用MATLAB编程完成计算，绘出相应图形。并与理论计算相比较，说明实验结果的原因。
八、实验数据及结果分析：
程序：
结果：
九、实验结论：
十、总结及心得体会：
十一、对本实验过程及方法、手段的改进建议