基于ABAQUS的减速器齿轮的模态分析

　　为了研究齿轮固有频率的影响因素，改善齿轮的动态特性，利用有限元软件ABAQUS和振动理论对齿轮进行模态分析，结果表明：第1~6阶，齿轮的振型主要是弯曲振动和扭转振动，在同阶的情况下，弹性模量越大，齿轮的固有频率越大，腹板的倒角越大，齿轮的固有频率越大，为齿轮动态优化设计提供可靠的参考依据。

　　减速器是原动机和工作机之间的一个独立闭式传动装置，用来降低转速和传递转矩，在工作过程中，减速器中的齿轮可能会由于机械振动而发出噪音，这样可能会降低齿轮的啮合精度和传递效率，从而影响减速器的使用寿命。

　　模态分析可以确定零件的固有频率和振型，使设计师在设计零件的时候，尽量使系统的工作频率和固有频率偏差较大，以防止共振，从而减少振动和噪音。模态分析的最终目标是识别系统的模态参数，为系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据，是结构动态设计及故障诊断的重要方法。

　　本文利用有限元软件ABAQUS，对减速器中的齿轮进行模态分析，来确定不同阶数下齿轮的固有频率和振型，通过选择不同的材料以及齿轮的腹板倒角，来分析齿轮固有频率的变化趋势，从而为齿轮大的结构优化提供参考依据，避免齿轮在工作时候发生共振，从而减少噪音。

　　一、有限元模态分析理论

　　对于一般的多自由度结构系统而言，运动都可以由其自由振动的模态来合成。有限元的模态分析就是建立模态模型进行数值分析的过程。由于结构的阻尼对其模态频率及振型的影响很小，所以模态分析的实质就是求解具有限个自由度的无阻尼及无载荷状态下得运动方程的模态适量。系统的无阻尼多自由度的自由振动系统方程为：

　　式中质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]均为nxn阶方阵，位移列阵{x}为nx1阶列阵。把(1)式写成位移向量的形式为：

　　应用线性变换式{x}=[u]{y}，可以对集合位置坐标{x}表示的耦合系统微分方程组解耦。因此，振型在坐标变换和解耦系统中发挥着重要的作用。为了得到振型的矩阵[u]，必须求得系统的特征值和特征向量，即系统的固有频率和振型向量。为此，假定系统的振动是由频率的简谐振动组成，设{X}为{x}的位移幅值和振幅列阵或振幅向量，Φ为初相位，则系统运动方程是的形式为：

　　对其求导得：

　　把(4)式代入(1)式，消去因子，整理的系统的特征矩阵方程为：

　　为满足上面的矩阵方程，必须使括号中的矩阵行列式等于零，这就是特征方程式即(6)式

　　从特征方程杰出特征值，特征值的平方根就是系统的固有频率。将系统的固有频率代入(5)式，所求的幅值矩阵{X}即为振兴向量{u}。