全文详解IIR滤波器原理与设计方法

1.IIR滤波器的原理

1.1 概述

《数字信号处理》作为一门通信、电子、信息等本科专业基础课程，在《信号与系统》课程的基础上，学习离散信号与离散时间系统，尤其是离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）、数字滤波器、多速率信号处理等在通信、雷达等领域得到广泛应用。

无限脉冲相应（Infinite Impulse Response ，IIR）滤波器与（Finite Impulse Response ，FIR）滤波器构成了两种常用的数字滤波器，这两者既有联系，也有区别。

首先，IIR滤波器具有很高的滤波效率，在相同幅频响应条件下，所需的滤波器阶数明显比FIR滤波器低。其次，IIR滤波器的设计，可以借鉴interwetten与威廉的赔率体系 滤波器的设计成果。此外，IIR滤波器可以用较少的硬件资源（主要是乘加运算的DSP资源）获得较好的滤波器幅频特性。

需要注意的是，IIR滤波器的一个显著特点是不具备严格的线性相位特性，相对于FIR滤波器而言应用范围较窄，只有在不需要严格线性相位特性的情况下，可以利用IIR滤波器实现数字滤波。

数字滤波器通常由一个系统函数、差分方程、方框图或流图来表示：

其基本运算单元、方框图及流图为：

例如给定一个二阶滤波器：，则其方框图结构与流图结构如下图所示。

在流图结构中，我们还需要弄清楚以下几个基本概念：

节点：

源节点：只有输出、没有输入的的节点

阱节点（输出节点）：只有输入支路而没有输出支路，它一般代表系统的输出变量，故也称为输出节点。

网络节点：分支节点或加法器

支路：只有一个输入，由一个或多个输出的节点

节点的值=所有输入支路的值之和

支路的值=支路起点处的节点值×传输系数

知乎话题：如何通俗易懂地理解FIR/IIR滤波器？

1.2IIR滤波器的原理及特性

LLR滤波器具有以下结构及特点：

IIR滤波器的特点：

系统的单位抽样相应h(n)无限长理解：由于本步骤的输出会作为下一步骤的输入，无限递归下去，所以一个时刻的影响就是无限的，也就是“无限冲激响应”。

系统函数H(z)在有限z平面（ 0<|z|<∞）上有极点存在LSI系统因果稳定性：一个LSI系统是因果稳定系统的必要与充分条件是系统函数H(z)必须是在从单位圆|z|=1到|z|<∞的整个z平面内（0≤|z|≤∞）收敛。即：系统函数H(z)的全部极点必须在Z平面的单位圆以内。

存在输出到输入的反馈，递归型结构在物理世界的时间系统中，因环境噪声等不可控因素，IIR滤波器将可能导致所设计系统不稳定，反复递归振荡。

如果只有不为0，其他，则称为全极点型的IIR滤波器或自回归（AR）系统，如果由两个或多个，则称为零-极点型的IIR滤波器或自回归滑动平均（ARMA）系统。

IIR滤波器结构：直接I型、直接II型、级联型、并联型和格型结构。

单位冲击相应h(n)为实数。

1.3 IIR滤波器的结构

1.3.1 直接I型

对于差分方程：如果先实现各的加权和，再实现各的加权和，则称之为直接I型。

1.3.2直接II型

将直接I型结构的两个延时链子系统的次序进行交换，并将有相同输出的中间两延时链加以合并，即可得到直接II型结构（典范型结构）。

直接型的共同缺点

对于高阶滤波器，系数a_k和b_k分别对滤波器的极点与零点的控制作用不明显，即对频率响应的控制作用不明显，因而调整频率响应比较困难。

极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差

运算的累积误差较大：乘法运算的量化误差，造成系统输出端噪声功率大

1.3.3 级联型

1.3.4并联型

2.IIR滤波器的设计方法

程佩青《数字信号处理教程》（第四版简明版）第6章总结的IIR滤波器设计方法

显然，在数字化时代，利用MATLAB、FPGA、DSP等软硬件来设计滤波器，才能应用到产品中！

3.IIR滤波器的MATLAB设计

MATLAB软件提供了丰富的滤波器设计方法，例如Signal Processing Toolbox提供了FIR、IIR、单速率和多速率滤波器设计、分析和实现的案例，可以用于设计参考。

除了函数，我们也可以利用filterDesigner设计。命令行键入filterDesigner ，回车。

进入滤波器设计界面，设计一个IIR滤波器。

在界面的左侧，显示当前滤波器信息。“响应类型”用于指定滤波器的作用。“设计方法”包含IIR和FIR，用于指定滤波器的类型。设置滤波器的阶数，设定频率的单位可以采用归一化或Hz、kHz、MHz等。参数设置完毕，点击“设计滤波器”，可通过工具栏查看所设计滤波器的幅值响应、相位响应、群延迟响应、零极点图等。并可在左上角查看当前滤波器信息。

设计确定后，可对滤波器系数进行量化。设置量化参数，滤波器算法选择“定点”，系数字长设为16。

需要注意的是，在生成.coe文件时，需要满足定点、单节和直接型的FIR，才能支持Xilinx FPGA所需的.coe文件。我们也可以将所设计滤波器导出生成.m文件，以供应用。

此外，我们可以应用designfilt设计滤波器，再用filter对数据进行滤波。

例如，设计一个低通IIR滤波器。

4.IIR滤波器的FPGA实现

IIR滤波器的FPGA实现比较复杂，需要应用到除法器。在利用FPGA实现IIRA滤波器前，我们需要将MATLAB设计的IIR滤波器满足设计需求后，将系数进行量化。

示例：采用cheby2函数设计一个阶数为7（级数为8）的带通滤波器，采样频率为2000Hz、截至频率为500Hz、阻带衰减为60dB，设计一个IIR滤波器。

c=fvtool(b,a)，将滤波器可视化。

为方便FPGA实现，我们需要将系数进行量化定点。对于IIR滤波器的FPGA设计，可以参考杜勇的《数字滤波器的MATLAB与FPGA实现》第5章。在实际应用中，很少用IIR滤波器去做设计，而是更多的应用FIR滤波器设计。

最后，我们需要将处理结果进行对比，确保设计一致。

审核编辑：黄飞