什么是z变换

◆ z变换在离散系统中的作用，与拉氏变换在连续系统中的作用非常相似。

若设，并将写成F(Z),则得

F(z)就叫做的z变换，并且以表示的z变换。

在z变换中，只考虑采样时的信号值。因此，f(t)的z变换与f*(t)的z变换有相同的结果。即:

因为F(z)只取决于f(t)在t=kT(k=0,1,2,…)上的数值，所以F(z)的z反变换，只给出了f(t)在采样瞬间的信息。

表7-1列出普通时域函数的z变换，表7-2列出z变换的常用性质。

7.3.2 z变换的方法

⒈级数求和法

举例说明之。

例7-1 求单位阶跃函数1(t)的z变换

注意:只要函数z变换的无穷级数F(z)，在z平面某个区域内收敛，则在
应用时，就不需要指出F(z)的收敛域。

例7-2 求下列函数的z变换........

f(t)=0(t＜0)
f(t)=e^ωt(t≥0)

解：

例7-3 求下列函数的z变换........

f(t)=0(t＜0)
f(t)=sinωt(t≥0)

解：

⒉部分分式法
当给定某连续函数f(t)的拉氏变换F(s)时，欲求其z变换，可利用本法，因为许多函数F(s)利用部分分式可以化成如下形式：

通过其中的每一项拉氏反变换得到原函数f(t)为：

而其z变换可以表示为:

下面举例说明。

例7-4 求下列函数的z变换：F(s)=1/s(s+1)

解: 先将F(s)展开成部分分式。

其中, 1/s[或1(t)]相应的z变换为z/(z-1) ,而1/(s+1)[即e^-t] 相应的z变换为
z/(z-e^-T)

	x(t)或x(k)	Z[x(t)]或Z[x(k)]
1	ax(t)	ax(z)
2	x1(t)+x2(t)	X1(z)+X2(z)
3	x(t+T)或x(k+1)	zX(z)-zx(0)
4	x(t+2T)	z2X(z)-z2x(0)-zx(t)
5	x(k+2)	z2X(z)-z2x(0)-zx(1)
6	x(t+kT)	zkX(z)-zkx(0)-zk-1x(T)-…-zx(kT-T)
7	x(k+m)	zmX(z)-zmx(0)-zm-1x(T)-…-zx(m-1)
8	tx(t)
9	kx(k)
10	e-atx(t)	X(zeaT)
11	e-akx(k)	X(zea)
12	akx(k)	x(z/a)
13	k akx(k)
14	x(0)
15	x(∞)
16		x(1)
17		X(z)Y(z)