卡诺图简化方法及简化步骤介绍

　　卡诺图简介

　　卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内，此方格图称为卡诺图。

　　卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项。两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。

　　卡诺图结构特点

　　卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量，变量的取值变化规律按“循环码”变化［1］。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。

　　在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。

　　归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：

　　☆n个变量的卡诺图由2^n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；

　　☆卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。

　　可以从图形上直观地找出相邻最小项。两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。

　　卡诺图化简函数

　　1．几个定义

　　蕴涵项：在函数的“与-或”表达式中，每个“与”项被称为该函数的蕴涵项（Implicant）。

　　显然，在函数卡诺图中，任何一个1方格所对应的最小项或者卡诺圈中的2m个1方格所对应的“与”项都是函数的蕴涵项。

　　质蕴涵项：若函数的一个蕴涵项不是该函数中其他蕴涵项的子集，则此蕴涵项称为质蕴涵项（PrimeImplicant），简称为质项。

　　显然，在函数卡诺图中，按照最小项合并规律，如果某个卡诺圈不可能被其他更大的卡诺圈包含，那么，该卡诺圈所对应的“与”项为质蕴涵项。

　　必要质蕴涵项：若函数的一个质蕴涵项包含有不被函数的其他任何质蕴涵项所包含的最小项，则此质蕴涵项被称为必要质蕴涵项（EssentialPrimeImplicant），简称为必要质项。

　　在函数卡诺图中，若某个卡诺圈包含了不可能被任何其他卡诺圈包含的1方格，那么，该卡诺圈所对应的“与”项为必要质蕴涵项。

　　2．求函数最简“与-或”表达式

　　（1）一般步骤：第一步：作出函数的卡诺图。

　　第二步：在卡诺图上圈出函数的全部质蕴涵项。按照卡诺图上最小项的合并规律，对函数F卡诺图中的1方格画卡诺圈。为了圈出全部质蕴涵项，画卡诺圈时在满足合并规律的前提下应尽可能大，若卡诺圈不可能被更大的卡诺圈包围，则对应的“与”项为质蕴涵项。

　　第三步：从全部质蕴涵项中找出所有必要质蕴涵项。在卡诺图上只被一个卡诺圈包围的最小项被称为必要最小项，包含必要最小项的质蕴涵项即必要质蕴涵项。为了保证所得结果无一遗漏地覆盖函数的所有最小项，函数表达式中必须包含所有必要质蕴涵项。

　　第四步：求出函数的最简质蕴涵项集。若函数的所有必要质蕴涵项尚不能覆盖卡诺图上的所有1方格，则从剩余质蕴涵项中找出最简的所需质蕴涵项，使它和必要质蕴涵项一起构成函数的最小覆盖。

　　归纳起来，卡诺图化简的原则是：

　　☆在覆盖函数中的所有最小项的前提下，卡诺圈的个数达到最少。

　　☆在满足合并规律的前提下卡诺圈应尽可能大。

　　☆根据合并的需要，每个最小项可以被多个卡诺圈包围。

　　3.求函数的最简“或-与”表达式

　　当需要求一个函数的最简“或-与”表达式时，可采用“两次取反法”。

　　具体如下：

　　☆先求出函数F的反函数F的最简“与-或”表达（合并卡诺图上的0方格）；

　　☆然后对F的最简“与-或”表达式取反，从而得到函数F的最简“或-与”表达式。

　　卡诺图化简逻辑函数具有方便、直观、容易掌握等优点。但依然带有试凑性。尤其当变量个数大于6时，画图以及对图形的识别都变得相当复杂。

　　卡诺图化简的步骤

　　⑴将逻辑函数变换为与-或式。

　　⑵画出逻辑函数的卡诺图。

　　⑶将2的n次方个为1的相邻方格（相邻项）分别画包围圈，每个包围圈的公因子作为乘积项。

　　⑷将每个乘积项项相加，就得到最简的与-或表达式。

　　二变量卡诺位置图

　　卡诺图化简方法

　　一、逻辑函数的卡诺图表示法

　　将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。

　　为了保证图中几何位置相邻地最小项在逻辑上也具有相邻性，这些数码不能按自然二进制数从小到大地顺序排列，而必须按图中的方式排列，以确保相邻的两个最小项仅有一个变量是不同的。

　　从卡诺图上可以看到，处在任何一行或一列两端的最小项也仅有一个变量不同，所以它们也具有逻辑相邻性。因此，从几何位置上应当将卡诺图看成是上下、左右闭合的图形。

　　任何一个逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，自然也可以用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。具体做法是：首先将逻辑函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上标出与之相对应的最小项，在其余位置上标入0，就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。也就是说，任何一个逻辑函数都等于卡诺图中填入1的那些最小项之和。

　　二、用卡诺图化解逻辑函数

　　化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。由于在卡诺图上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观的找出那些具有相邻性的最小项并将其合并化简。

　　合并最小项的原则：若两个最小项相邻，则可以合并为一项并消去一对因子。若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两队因子。若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组，则可以合并成一项并消去三对因子。合并后的结果中只剩下公共因子。

　　卡诺图化简法步骤

　　（一）将函数式化为最小项之和的形式；

　　（二）画出表示该逻辑函数的卡诺图；

　　（三）找出可以合并的最小项；

　　（四）画出包围圈并选取化简后的乘积项。

　　在画包围圈时要注意：

　　（一）包围圈越大越好；

　　（二）包围圈的个数越少越好；

　　（三）同一个“1”方块可以被圈多次；

　　（四）画包围圈时，可先圈大，再圈小；

　　（五）每个圈要有新的成分，如果某一圈中所有的“1”方块均被别的包围圈包围，就可以舍掉这个包围圈；

　　（六）不要遗漏任何方块。

　　通常我们都是通过合并卡诺图中的1来求得化简结果得。但有时也可以通过合并卡诺图中的0先求出‘Y的化简结果，然后再将’Y求反而得到Y。