数字信号处理 FFT分析信号频谱

离散傅里叶变换的应用之一——用FFT分析信号频谱

题目如下：

欲解此题，关键掌握以下几点：

第一，分清“截取数据长度”（即窗函数长度）与“DFT点数”二者的不同；

第二，能够根据interwetten与威廉的赔率体系 频率推断出DFT谱峰处对应的序号k的数值，方法如下：

首先，由模拟频率转换为数字域频率：

图1

然后，数字域频率对应到DFT的序号k

图2

综合以上两式，得到：

图3

【题目分析与解答】

我们按照DFT分析信号频谱的三个步骤来分别求解：

第一步：采样。所以首先，我们写出采样后离散时间信号的表达式：

其周期为10。

第二步：时域加窗（即截取）

截取10点长，相当于将该周期信号x(n)与10点长的矩形窗相乘，得到v(n)，所以我们求v(n)的DTFT。

图4

图5

注意，上图中只画出了[-Π，Π] 区间的图形，实际上DTFT是以2Π为周期的（所以吓人的公式中有西格玛求和符号）。

第三步：频域抽样，也就是对V(e^jw)在 [0，2Π] 区间抽取N个点（N为DFT点数，而非第二步中截取的长度）

再次把狐假虎威的公式摆出来（因为有些同学有强迫症，非要看看公式长什么样，注意，要先把图4中的V(e^jw)的西格玛求和符号去掉，只取0~2Π区间的，所以，后面一项是w-2Π/5+2Π，也就是w+8Π/5，然后再把w变成2Πk/N）（在4月28日发的文章中，下面这个公式写错了，没有人给我提出来。看来你们都没仔细看公式。）

图6

其实V(k) 就是下图中的红点点啦。

图7

好了，那么最后的问题就是，N取不同值时（也就是做不同点数的DFT）这些红点点显然也不同。对于此题来说，这三种N的取值（10、20、128）得到的结果到底是什么呢？

你看到或者听到这里的话，暂停一下，自己算算呗。

我直接把matlab画图的结果给出来。

用前面的公式算一下：f=kfs/N，最后那个128点DFT的图，最高的谱峰序号k是多少？

图8

最后附上matlab程序。

clc;clear all;

f0=1;fs=5;%单位：Hz

n=0:1000;L=10;

xn=cos(2*pi*f0*n/fs);%时域离散时间信号

Xk1=fft(xn(1:L),10);

Xk2=fft(xn(1:L),20);

Xk3=fft(xn(1:L),128);

subplot(311);stem((0:length(Xk1)-1),abs(Xk1));title('10点DFT');

subplot(312);stem((0:length(Xk2)-1),abs(Xk2));title('20点DFT');

subplot(313);stem((0:length(Xk3)-1),abs(Xk3));title('128点DFT');

下面分析一下：

首先看N=10时，此时的结果看似最为干净清爽，只有干干净净两根线。但有的同学要问了，单频信号，只有一个频率成分，应该只有一根谱线呀？为什么会有两根？

我们先看第一根，k=2那个谱线，对应频率为2*fs/10=2*5/10=1Hz，与题设cos（2Πt）完全吻合。k=8那根谱线是怎么一回事呢？是负频率周期延拓过去的，本来在-2，-2+10就等于8了。所以，（敲黑板，以下结论很重要）

对实信号做N点DFT，我们只需要看前N/2根谱线就行了，不用关注N/2~N-1之间的。

再看N=20和N=128的DFT结果，怎么出来那么多根谱线呢？

回过头去看一看，做DFT之前的截取L点长的序列cos(2Πn/5)的频谱到底是什么样子呢？是图7中的虚线所示。而N点DFT，是对V(e^jw)在 [0，2Π] 区间抽取N个点。相当于把连续的频谱图（V(e^jw)，如图7中的虚线所示），用一张不透明的纸盖住，纸上以2Π/N为间隔开了一些缝，露出来的点才是我们得到的DFT的结果。这就是频域抽样产生的”栅栏效应“。

所以，不管是10点DFT干干净净的两根线，还是128点DFT密密麻麻的那么多根线，背后隐藏的，都是连续的频谱函数。之所以10点DFT的结果看起来更顺眼，无非是因为因为2Π/N也恰好是旁瓣的宽度（因为信号的周期和截取长度也是10）

在DFT谱分析中，当DFT点数N大于数据本身的实际点数L时，相当于在数据后面补上了L-N个0再做DFT，称为“补零DFT“。补零经常是必要的，补零相当于对信号频谱以更小的间隔采样，得到更多的频谱的信息。而且有时数据长度不是2的整数次幂，如果我们想采用基2FFT算法，就必须进行补零。

此题以单频周期信号为例，展示了不同点数DFT时结果的不同。给人一种错觉：补零，似乎没带来任何好处，反倒是点数最少的10点DFT的结果最好看。

是不是这样呢？当然了，如果你知道这个周期信号的周期是多少，毫无疑问，就截取一个周期的数据，做同样点数的DFT，结果最好看。但在分析实际问题时，要么信号根本没有周期性；要么虽然有周期性，但你不知道；而且实际信号也不会是简单的单频信号，会包含多个频率分量。这个时候，在系统性能、实时性、存储量等等容许的范围内，截取尽量长的数据（即获取更多的信息，得到更高的频率分辨率，下一篇会专门讲频率分辨率），做尽量多点数的DFT（即对频谱进行更为精细的采样）。

而且，实际应用中，由于DFT的点数一般都比较大，我们一般不会以离散的形式画频谱图，而是直接将频谱图化成连续的曲线。例如，上例中，我们截取128点长的数据，做128点DFT，用连续曲线形式画图（matlab中为plot函数），并且只画出前一半（即0~N/2-1）的点，并且把横轴直接转换为Hz，如下图所示：

Matlab代码如下：

上图中，横轴单位为：Hz。采用如下公式，将序号k转换为模拟频率Hz：

DFT分析信号频谱，是实际中应用最广泛的数字信号处理算法，还有很多种题目可以出。还是那句话，题目无穷无尽，而原理就那么多，大家只有掌握了其真正含义，才能以不变应万变。