Leetcode第121题到123题连续出现了三道买卖股票相关的题目，一年前的网易笔试和半年前的百度面试都遇到过121题，不过不用慌，看完本文，你一定能够完美解决买卖股票的问题。那么我们由易到难，依次介绍这三道题目。

best time to buy and sell stock

121题题目是这样的：

在所有的过程中，我们只允许一次的买卖，基于这个问题，我们得到了下面的两种解法。

根据题意，我们只需要找出数组中最大的差值即可，即 max(prices[j] – prices[i]) ，i < j。

如何得到最大的差值，只需要一次遍历即可，在遍历的用一个变量记录遍历到当前时的最小值即可。时间复杂度为O(n).

相关的实现代码如下：

classSolution{publicintmaxProfit(int[]prices){if(prices==null||prices.length< 2){return0;}intmin=prices[0];intprofit=0;//第i天的价格可以看作是买入价也可以看作是卖出价for(inti=1;i< prices.length; i++) {    //找到更低的买入价if(min>prices[i]){//更新买入价min=prices[I];}//当天的价格不低于买入价else{//如果当天买出的价格比之前卖出的价格高if(profit< prices[i] - min) {            //更新卖出价profit=prices[i]-min;}}}returnprofit;}}

第二题的解法是我在面试百度的时候想到的，应用的是求数组中和最大的连续子数组序列的思路，这种思路又被称为Kadane's Algorithm。我们有两个问题：

如何转化为求数组中的和最大的连续子序列？相邻两个数作差即可，这样的话子序列的和就是我们在子序列开始卖出股票，在子序列最后买回股票所能得到的收益。

那么什么是Kadane's Algorithm呢？

kadane算法利用了数学归纳法的思想。简单来讲就是，随意给你一个现成的数组，比如说−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4，让你求其中的最大子列和，并不是容易的事情。但如果我们能从第一个数开始，随着数组的扩充，始终对其最大子列和保持跟踪，就可以轻易的求出任意一个数组的最大子列和。换言之，长度n的数组我们不会求，长度为一的总能算出来吧？长度为一的算出来了，二也就能算出来，二算出来了，三就能算出来，以此类推，用这种根据i求i+1的思想，我们就能达到最终目的。

详细的分析一下，往一个长度为i的数组后面插入第i+1个数，这时，数组的最大子列只有两种情况，要么包括第i+1个数，要么不包括第i+1个数。即：

maxsubarraum = max(以第i+1个数结尾的子列和， 不以第i+1个数结尾的子列和)。*

先计算前者，以第i+1个数结尾的子列和怎么算呢？很简单，要么它是以第i个数结尾的子列作为前缀，要么它不以之作为前缀。假设第i+1个数为x，那么：

以第i+1个数结尾的子列和 = max(x，以第i个数结尾的子列和+x) (1)。

再计算后者，也就是不以第i+1个数结尾的子列和。这啥意思呢？其实就是插入第i+1个数之前的数组的最大子列和嘛。我们的数学归纳思想也就体现在这里，如果你还看不明白，我们将*式改写：

数列长度i+1的最大子列和 = max(以第i+1个数结尾的子列和， 数列长度i的最大子列和)。(2)

看到了吧，无论(1)式还是(2)式，后一种情况都可以由前一种情况推出，妥妥的数学归纳。我们的算法只要从i=1开始，一步一步按照上面的规则走下去，那么任意一个数列的最大子列和就能求出来了！

classSolution{publicintmaxProfit(int[]prices){if(prices==null||prices.length<2)return0;intmaxCur=0;intmaxSoFar=0;for(inti=1;i0,Math.max(prices[i]-prices[i-1],maxCur+prices[i]-prices[i-1]));maxSoFar=Math.max(maxCur,maxSoFar);}returnmaxSoFar;}}

这道题的描述如下：

这道题允许无限次的买卖，简直太简单了吧，只要后一天的价值比前一天的大，那就买卖呗。不忍吐槽的一道题，代码如下：

classSolution{publicintmaxProfit(int[]prices){if(prices==null||prices.length<2)return0;intmaxProf=0;for(inti=1;iprices[i-1]?prices[i]-prices[i-1]:0);}returnmaxProf;}}

这一题还是比较难的，题目描述如下：

我们只允许最多两次的买卖，这可如何是好？我们同样提供两种思路：

这个问题可以转换成Best Time to Buy and Sell Stock I问题。

两次股票交易的核心是可以定义一个交易点，在这个交易点之前可以做一次交易(赚的最大数目的钱为firstProf)，在这个交易点之后可以做一个交易(赚的最大数目的钱是secondProf)。那么要求的是max(firstProf+secondProf)。但是这个方法的时间复杂度是O(N^2)，空间复杂度是O(1)。leetcode中显示超时。

可以使用两次扫描的方法避免上面的双重循环。

不同于Best Time to Buy and Sell Stock I中定义的初始状态A[i]表示第i天卖出挣的最大数目的钱，这个更进一步直接定义A[i]表示前i天赚的最大数目的钱。minPrice表示从第0天到第i-1天中的最低价格。

A[0]=0。（初始状态）A[1]=max(prices[1]-prices[0],A[0])A[2]=max(prices[2]-minPrice,A[1]).....

即A[i]=max(price[i]-minPrice,A[i-1]).

另外一次扫描从数组后向前扫描，定义B[i]表示从第i天到最后一天n能赚的最大数目的钱。

maxPrice表示第i+1天到n天的最高价格。B[n]=0。（初始状态）B[n-1]=max(maxPrice-prices[n-1],B[n])B[n-2]=max(maxPrice-prices[n-2],B[n-1]).....

即B[i]=max(maxPrice-prices[i],B[i+1])

那么以第i天为分割点能赚的最多数目的钱为A[i]+B[i]问题的解为max{A[i]+B[i]}。0<=i<=n。时间复杂度是O(N)，空间复杂度是O(N)。

classSolution{publicintmaxProfit(int[]prices){if(prices==null||prices.length<2)return0;int[]asc=newint[prices.length];int[]desc=newint[prices.length];intn=prices.length;intminprice=prices[0];intmaxProf=0;asc[0]=0;for(inti=1;iasc[i]=Math.max(prices[i]-minprice,maxProf);minprice=Math.min(prices[i],minprice);maxProf=asc[i];}desc[prices.length-1]=0;maxProf=0;intmaxprice=prices[prices.length-1];for(inti=prices.length-2;i>=0;i--){desc[i]=Math.max(maxprice-prices[i],maxProf);maxprice=Math.max(maxprice,prices[i]);maxProf=desc[i];}maxProf=0;for(inti=0;iasc[i]+desc[i]);}returnmaxProf;}}

第二种解法的核心是假设手上最开始只有0元钱，那么如果买入股票的价格为price，手上的钱需要减去这个price，如果卖出股票的价格为price，手上的钱需要加上这个price。

因此我们定义了4个状态：

Buy1[i]表示前i天做第一笔交易买入股票后剩下的最多的钱；Sell1[i]表示前i天做第一笔交易卖出股票后剩下的最多的钱；Buy2[i]表示前i天做第二笔交易买入股票后剩下的最多的钱；Sell2[i]表示前i天做第二笔交易卖出股票后剩下的最多的钱；

那么假设我们在第i天时第二次卖出股票，我们卖出股票可以获得Buy2[i-1]+prices[i]的钱，假设在第i天前已经完成了两笔交易，那么我们最多的钱是Sell2[i-1]，因此Sell2[i]=max{Sell2[i-1],Buy2[i-1]+prices[I]}同样的道理，假设我们在第i天时第二次买入股票，我们手中的钱是Sell[i-1]-prices[i]，假设我们在第i天钱已经卖出了两次股票，那么我们最多的钱是Buy2[i-1]，因此Buy2[i]=max{Buy2[i-1],Sell[i-1]-prices[I]}同样的道理我们还可以得到：Sell1[i]=max{Sell[i-1],Buy1[i-1]+prices[I]}Buy1[i]=max{Buy[i-1],-prices[I]}

可以发现上面四个状态都是只与前一个状态有关，所以可以不使用数组而是使用变量来存储即可。