如何用Python实现极大似然估计？

极大似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称MLE）是很常用的参数估计方法，极大似然原理的直观想法是，一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，... ，若在一次试验中，结果A出现了，那么可以认为实验条件对A的出现有利，也即出现的概率P(A)较大。也就是说，如果已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。极大似然估计是建立在这样的思想上：已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值（请参见“百度百科”）。

本文以一个简单的离散型分布的例子，interwetten与威廉的赔率体系 投掷硬币估计头像(head)向上的概率。投掷硬币落到地面后，不是head向上就是tail朝上，这是一个典型的伯努利实验，形成一个伯努利分布，有着如下的离散概率分布函数：

其中，x等于1或者0，即结果，这里用1表示head、0表示tail。

对于n次独立的投掷，很容易写出其似然函数：

现在想用极大似然估计的方法把p估计出来。就是使得上面这个似然函数取极大值的情况下的p的取值，就是要估计的参数。

首先用Python把投掷硬币模拟出来：

通过此模拟，使用sympy库把似然函数写出来：

从上面的结论可以看出，作100次伯努利实验，出现positive、1及head的数目是53个，相应的0也就是tail的数目是47个，比较接近我们设的初始值0.5即1.0/2（注意：现在我们假设p是未知的，要去估计它，看它经过Python的极大似然估计是不是0.5！）。

下面，我们使用Python求解这个似然函数取极大值时的p值：

结果没有什么悬念，53/100的值很接近0.5！

取对数后，上面Python的算法最后实际上是求解下式为0的p值：

上式留给网友自行推导，很多资料都可找到该式。这个式子，是著名的Logistic回归参数估计的极大似然估计算法的基础。

进一步，为了更加直观的理解投掷硬币的伯努利实验，我们给出以均值（均值为100*0.5=50）为中心对称的加总离散概率（概率质量函数（probability mass function），Python里面使用pmf函数计算）：

对于上面的Python代码，可以通过下图更好地去理解：

把这20个离散的概率全部显示出来，也可以看到在0.08左右取到它们的最大值：

本文针对简单的离散概率质量函数的分布使用Python进行了极大似然估计，同时该方法可以应用于连续分布的情形，只要通过其概率密度函数得出其似然函数即可。希望网友把本文的代码实践一遍，也可以和R语言、SAS等软件得到的结论相比较，从而得到更好的极大似然估计的实现方法。