零极点的物理本质是什么？如何对系统产生影响？

每次想弄清楚零极点的物理本质是什么，如何对系统产生影响（大学信号与系统没好好学)，网上找一下相关内容，总能看到 ”Hs=A0/(s+a） 极点为s=-a s=jw 所以w=a时增益-20db/十倍频 “类似的结论。

虽然也可以分析电路，但仔细想一想总让人一脸懵逼。s不是等于σ+jw吗，怎么变成了jw，jw又变成了w,而且w=-a又变成了w=a。每次都想把信号与系统重新学一遍（只能怪自己大学摸鱼去了），但看着厚厚的上下册，拖了又拖...... 最近刚好空一点，整理了一些相关内容。

傅里叶变换和拉普拉斯变换：

傅里叶变换 ：将时域函数转换为不同频率的正弦波的叠加。

拉普拉斯变换 ：

由于傅里叶变换的局限性，要保证f（t）收敛，因此对于非收敛的函数，添加一个衰减因子e ^-σt^ ，使函数在t→∞时，f(t)→0。然后再进行傅里叶变换。

极点的意义：

H（s)=H0/(s-a) 极点s=a 对应的时域原函数：Ht=H0*e^at

由上述分析可知，Hs是Ht×衰减因子做傅里叶变换得到，Gt=H0e^ate^-σt=H0*e^-(σ-a)t 要使Gt收敛，则必须σ＞a。

因此可知道极点s=a，是σ+jw=a ，并非jw=a。即σ=a。

极点代表的时域函数可进行拉式变换的收敛域，σ需在极点的右方（见下图，execl做的简易示图，勿喷）：

（对于虚数极点s=a+bj，代表σ=a，w=b，a反应衰减速率，b反应震荡频率，虚数极点后续有时间再具体分析）

图中阴影部分为收敛域，a1为左半平面极点，收敛域在a1右侧，a2为右边平面极点，收敛域同样在右侧。

由此可由极点位置判断系统稳定性：

左半平面极点：收敛域经过原点，说明σ=0时，时域函数f(t)** e^-σt *收敛，即f(t)收敛。

右半平面极点：收敛域大于零，说明f(t)** e^-σt *中σ必须大于0才收敛，即f(t)不收敛。

另一个问题，为什么s=σ+jw 又有s=jw。其实也就是s域函数与电路的频率响应的转换。

根据拉式变换的微分性质可知道电容的s域参数=1/sc

交流时电容容抗Zc=1/jwc

因此s=jw 只是分别在s域和频域里数学形式上相同，电感同理。

因此知道传输函数Hs，令s=jw可得到电路的频率响应H(w) （此Hw并不是傅里叶变换的Hw)

有了频响函数，电路的幅频特性，相频特性都能很简单的计算出来。