浅析STAR-CCM+多重网格法

随着网格尺寸的增加，雅可比、高斯-赛德尔或 ILU（不完全 LU）等传统迭代求解算法的收敛速度明显降低。 反过来，收敛缓慢会导致计算时间呈二次性增加。为加速求解器收敛，采用代数多重网格 (AMG) 法。多重网格法的概念基于以下事实：迭代求解算法可有效减少其波长对应于网格单元尺寸（高频误差）的数值误差分量。 但对于此类方法，长波长（低频）误差的降幅相当缓慢。

在连续粗糙化的线性系统的层次结构上，多重网格法通过迭代过程减少低频误差。代数多重网格衍生粗糙层方程组，而不参考基础网格几何。粗糙网格方程从精细网格系数的算术组合衍生得出。几次迭代之后，多重网格算法将计算从精细线性系统传递到粗糙线性系统。 这些迭代也称为平滑迭代，因为误差函数稍后将会平滑（即不含误差的高频分量）。

由于求解过程传递到更粗糙的线性系统，因此误差现在相对网格单元尺寸而言频率增高并可有效减少。 在更粗糙的线性系统上，为减少精细线性系统求解的误差，定义了缺陷方程。多重网格算法采用以下步骤：

1. 聚结网格单元，形成粗糙网格级别。
2. 将残差从精细级别传递到更粗糙的级别（称为限制）。
3. 将校正从粗糙级别传递回更精细的级别（称为延长）。

• 多重网格循环

  多重网格方法支持通过在粗糙网格序列上使用简单校正扫掠，显著加速高斯-赛德尔等基本迭代格式的运行。粗糙级别访问策略可能会对该算法的效率产生很大的影响。AMG中有两个循环策略，即固定和可变：

• 固定循环

完整的多重网格循环表示递归应用由以下步骤组成的单一循环：

1. a) （预）平滑；
2. b) 限制；
3. c) 再循环；
4. d) 延长；
5. e) （后）平滑。

这些步骤将应用于一系列连续粗糙化的网格或方程组。平滑表示将任意数量的迭代松弛扫掠应用于当前精细级别上的方程，计算一组新校正。限制是指将现有残差向下传递到应用了新循环的下一个最粗糙级别。随后，结果校正将延长，即传递回同样应用了平滑的当前精细级别。有以下三种类型的固定循环：

• F 固定循环
• V 固定循环
• W 固定循环
• 可变循环
  对于非刚性线性系统，此类循环是一种更经济的循环策略。每次在给定网格级别上扫掠后都会监视残差，而非按规则模式使用所有多重网格级别。如果残差减少率超出给定阈值，会继续在更粗糙的级别上求解。如果给定级别上的残差降幅超过指定阈值，则求解将转到更精细的级别。任何级别允许的扫掠数将进一步受到限制。

V 循环

V 循环是最简单的固定循环类型，只有两个分支。 在第一个分支中，用户对最精细的级别执行大量松弛扫掠并将残差传递到下一个级别。 然后，对粗糙级别相继重复该操作，直至达到最粗糙的级别为止。粗糙“网格”通常仅包含几个“网格单元”。在最粗糙的级别上完成扫掠之后，使用得到的解校正下一个更精细级别上的求解。先在该级别执行一些松弛扫掠，然后重复此过程，直至达到最精细的级别为止，图 显示了此过程。

W 循环

对于刚性方程组，V 循环有时不能满足需要，进行更多粗糙迭代非常有用。W循环会增加粗糙松弛扫掠数，如图 所示。

F 循环

F循环是W循环的一种变体，此循环如图示，涉及的粗糙级别扫掠数少于W循环，但仍多于 V 循环。