高斯响应滤波器设计

这是一篇关于interwetten与威廉的赔率体系 高斯滤波器设计的经典文章，发表于1959年1月的《电气通信》杂志上。此篇文章引用度比较高，而且内容非常详实，包含了高斯滤波器综合和实现的整个过程，文章中也讨论了有限Q值的滤波器设计非常有参考价值。

在过去的三十多年里，滤波器的设计一直遵循镜像参数法(the image-parameter theory)。这种理论在商业中得到了广泛应用，很大程度上是因为大多数滤波器只需要满足近似的性能要求。在需要更精确特性的场合，通常只需在实际滤波器中调整元件值，就能得到可接受的设计。然而，要实现通带内精确的幅度和相位响应，基于镜像参数法的简单近似就不再适用，需要使用基于现代网络理论(modern network theory, 即插入损耗法)的方法来解决。

现代网络理论是基尔霍夫定律(Kirchhoff's laws)在滤波器参数计算中的优雅扩展。从所需滤波器的幅度、相位或时间响应的预定指标出发，方程会计算出必须包含在滤波器中的每个元件的精确值，而不受镜像参数法的固有限制，即在物理上不实际的终端阻抗和无耗电抗。

十多年前，关于现代网络理论的滤波器设计的一系列实用论文中的第一篇发表在《电气通信》(Electrical Communication)上。本期还有一篇关于这个系列的文章。

译注：这里说的十多年前的文章主要由Vitold Belevitch所贡献，可以参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Vitold_Belevitch

Gaussian-Response Filter Design

高斯响应滤波器设计

By MILTON DISHAL

ITT Laboratories, a division of International Telephone and Telegraph Corporation; Nutley, New Jersey

具有高斯响应特性的滤波器在脉冲系统中非常有用，因为它们在快速信号变化后产生的波形过冲和振铃很小。本文首先概述了理想高斯滤波器的幅度、相位、脉冲响应、阶跃响应和有效热噪声带宽。接下来给出了一种物理可实现的幅度特性逼近。并提供了这种逼近的复频率根(最高到9阶)。然后，按综合复杂度的顺序，考虑了使用这些根来设计分段调谐系统、仅一端有阻性负载的无耗和均匀有耗滤波器，以及两端均有阻性负载的同样的滤波器；所有设计都提供了阶高斯幅度逼近。数值设计数据提供在7个表格中；并给出了一个低通和一个带通设计实例。

在许多通信系统中，特别是涉及脉冲的系统，希望系统响应幅度随带宽(response-magnitude-versus-bandwidth)变化特性呈高斯形状(译注：推导过程可以参考和ChatGPT聊聊高斯滤波器设计)。

本文没有考虑这个问题的系统方面，但可以提到的是，使用高斯响应形状的一些有益的定性结果是在快速信号变化后产生的过冲和振铃非常小，以及在施加脉冲时可以获得的对称脉冲输出。

本文旨在提供精确数据，使得能够成功设计和构建具有幅度与频率特性为阶理想高斯幅度响应逼近的低通和带通滤波器，其中是整个滤波器中的元件数量(在低通滤波器中，元件表示电抗(reactances)；在带通滤波器中，表示谐振器(resonators))。正如后面一节所示，产生理想高斯响应需要无限数量的元件，因此在使用有限数量的元件时，只能逼近这种响应。

1. 理想高斯响应特性

为了便于参考，本节简要介绍了理想高斯响应的五个经常用到的特性。

1.1 相对衰减幅度与带宽的关系

方程(1)给出了理想高斯相对衰减幅度的表达式：

译注：这里的系数0.3466是这样算出来的，令，即让其传递函数的3dB截止频率处功率衰减一半。解得，这里和下述公式中的相同，下式是系统传递函数：

其中 是滤波器在零带宽时的峰值输出电压， 是任意带宽 下的输出电压， 是带宽值(低通情况下为实际弧度频率，对称载波中心带通情况下为总带宽)。 是归一化带宽，通常可以从它所在的方程中推导出其意义。例如，绘制(1)的图像可以发现，当 时，相对衰减为1奈培(neper)或8.68dB。从同一相对衰减图中可以看出，，经过重新归一化至3dB带宽后，得到(1)的第二个右侧表达式。对(1)的两侧取，以获得dB表示的简单的相对衰减式(1A)：

译注：这里式(1A)求解高斯滤波器衰减特性，对式(1)两边取得到:

在两倍的3dB带宽处，理想高斯相对衰减的幅度为12dB；在三倍的3dB带宽处，为27dB；等等。

1.2 相对衰减相位(相位滞后)与带宽的关系

基于表示幅度(1)所需的无穷项级数这一事实，可以证明理想高斯相位特性具有无限斜率，并且完全线性，如下式所示：

其中 是带通响应中间或低通响应零频率处的实际相移。相位特性的无限线性斜率导致通过理想高斯滤波器的信号具有无限时间延迟。通过有限数量的网络元件对高斯响应进行逼近将导致有限的时间延迟。

译注：这一小结容易产生疑惑，对于(1)式，实际上还包含一个虚部为0的项，即信号相位为0，得到结论，理想高斯滤波器对所有信号的相位移动都是0。但是为什么这里作者指出相位特性具有无限斜率，且对信号具有无限时间延迟呢？

这里可以这样理解：实际上对于一个理想高斯滤波器，我们需要无穷多的元器件来综合实现，比如如下这样，

当输入端输入信号后，因为中间有无穷项，信号永远也无法输出！所以说理想高斯滤波器对信号具有无限时间延迟，也即得到相位的无限斜率特性。

1.3 脉冲响应与时间的关系

理想高斯滤波器的脉冲响应为：

译注：时域脉冲响应可以使用频域的反傅里叶变换求得：

其中所以这里的系数.

其中 是从脉冲响应中心的无限延迟处计算的时间差(正负)， 是任意时间 处的输出， 是峰值输出(在 时出现)。绘制(3)的图像显示，半幅度点之间的总时间宽度为，10%幅度的总时间宽度为，1%幅度的总时间宽度为，0.1%幅度的时间宽度为。其中， 是低通情况下的实际3dB截止频率，对于对称载波中心带通情况， 是总3dB带宽的一半。

1.4 阶跃响应与时间的关系

理想高斯滤波器的阶跃响应为：

译注：阶跃响应使用冲击响应的积分求得：

其中，原文中的公式(4)是错误的。

其中是从阶跃响应中间向上的无限延迟时间(正负)计算的时间差。绘制(4)时，可以看到10%至90%的上升时间等于0.344 /，5%至95%的上升时间等于0.437 /，其中是低通情况下的实际3dB截止频率，对称载波为中心的带通情况下是总3dB带宽的一半。

1.5 有效噪声带宽

为了计算无线电接收机的热噪声限制灵敏度，需要知道评估接收机选择性的有效噪声带宽。对于归一化高斯响应形状，热噪声带宽

有效热噪声带宽是具有与实际电压平方响应形状相同的峰值响应和相同总面积的矩形电压平方归一化响应形状的宽度。

2. 使用个网络元件逼近高斯幅度特性

如前所述，要用多项式形式表示的无穷项数目的期望网络功能，需要综合一个包含无穷多元件的集总线性网络。因此，在实际应用中需要对第1节中详细介绍的理想高斯响应进行逼近。设计工程师必须决定需要逼近哪个特性，所逼近的特性有：幅度特性、相位特性、相位斜率特性(phase-slope)、脉冲响应特性、阶跃响应特性等。本文讨论的是高斯幅度特性的逼近问题。

2.1 相对衰减幅度的公式

正如很多次所提到的(例如，参见达林顿的论文)，一个由有限数量元件组成的集总线性网络，在通带之外产生持续增加的衰减，其相对衰减幅度公式如下：

是归一化带宽变量的最高次幂为的多项式，其中是网络元件的数量，是该多项式在带宽最小值处的数值。通过从多项式的常数项中减去并加上，显然可以将(5)写成以下形式：

因此，为了将期望的高斯相对衰减幅度方程(1)与物理可实现的网络联系起来，需要对(1)的平方求级数，而不是直接对(1)求级数，因为(5)表明，如果要将多项式中的项数与网络中的元件数关联起来，必须使用相对衰减幅度的平方。

译注：这里作者将衰减曲线对曲线的最小值做了归一化处理，这样就将衰减方程写成了:

的形式，也就是说这节的重点是现在所谓的特征函数(The Characteristic Function)。感兴趣的同学可以参考《滤波器设计的逼近方法 - Butterworth, Chebyshev, Elliptic》。文中写到"必须使用相对衰减幅度的平方"才能获得实际元件值，这个说法通俗的解释是由于实际器件都是正实数，而(1)式只能包含左半边平面极点的函数，解出来的会存在虚数，而平方后，这些虚数都变为实数，就可以和实际器件形成对应关系了。

2.2 幅度逼近的结果

当上述平方之后，然后使用已知的收敛无穷级数，我们得到:

根据(5)关于多项式最高次幂的说明，可以看出，两元件(低通电路的电抗；带通电路的谐振器)滤波器可以满足(6)的前三项，三元件滤波器可以满足前四项，依此类推。一般来说，个元件的滤波器可以满足(6)的前项。

在数学上有许多不同的方法来指定对期望曲线的最佳逼近；在本文中，所采用的逼近方法是尽可能满足式(6)中的实际数值系数。

现在可以绘制用个元件所构成滤波器网络获得的高斯幅度逼近的曲线。图1显示了3dB截止点内的曲线部分，图2显示了3dB截止点外的曲线部分，这些曲线是包含多达10个元件的滤波器网络的结果。在绘制之后，我们还记录了的关系，并将所有曲线重新归一化到它们自己的3dB截止点。从这些曲线中，工程师可以轻松确定满足预定指标逼近所需的网络元件数量。从图2中，应注意到一个重要的事实：滤波器中使用的元件数量决定了逼近满足理想高斯响应的相对衰减曲线(即相对响应曲线)的程度；例如，一个四元件滤波器可以在大约11dB点附近逼近高斯响应，误差在1dB以内；6个元件则在大约18dB；8个元件在大约26dB；10个元件在大约34dB；如此等等。

图1-在3dB截止点以内的阶高斯幅度逼近滤波器的相对衰减曲线。滤波器中的元件数量。

图2-在3dB截止点以外的阶高斯幅度逼近滤波器的相对衰减曲线。

理想高斯响应需要多大程度上逼近才行？这是一个重要的问题，取决于特定系统的要求，这个问题不在本文的讨论范围之内。

3. 高斯幅度逼近的复根及其在参差调谐放大器(Stagger-Tuned Amplifier)设计中的应用

当综合一个网络以产生精确所规定的连续增加的衰减幅度时，总是需要解出其衰减方程的个根，其中是多项式的最高次幂，也是滤波器中必须使用的元件数量。对于目前正在考虑的高斯逼近，这些重要的根值或极点位置显然是通过选择公式(6)的适当数量的项(前项)并将它们设为零，然后求解得到的个根。滤波器网络函数是的有理函数，而不是；因此，在网络综合过程中使用，需要将上述得到的根乘以。上述步骤的结果详见表1，其中包括了高达9阶的高斯逼近。在每种情况下，所得到的极点位置已经重新归一化到频响的3dB截止点，由于只有个左半平面极点用于网络综合，所以只显示带负号的实根。

3.1 使用单调谐中间级的参差调谐放大器设计

如果通过设计使用单调谐中间级的梯形调谐中频放大器来满足指标是可行的，那么表1的数据就构成了放大器中间级的完整设计数据。

例如，如果要制作一个5级参差调谐放大器，以实现5阶高斯逼近，那么需要：两个单调谐电路，各自的3dB带宽为所需的总3dB带宽的倍；这两个电路将从所需的中频失谐，频率间隔等于所需的总3dB带宽的一半。然后需要两个单调谐中间级，其各自的3dB带宽等于所需的总3dB带宽的倍；这两个电路将从所需的中频失谐，频率间隔等于所需的总3dB带宽的倍的一半。最后，需要一个单调谐中间级，其3dB带宽为所需的总3dB带宽的倍；此电路不会从中频失谐(detuned)。

放大器所需的总增益可以在5个级之间按任意期望的分布来分配。

3.2 实现高斯幅度逼近的双调谐级联放大器

如果通过使用低阶中间级和电子管分隔的系统来满足选择性要求，那么对于给定数量的放大器级联，可以通过使用双调谐中间级来实现比3.1节中的更高阶逼近。表1中的极点位置数据也可直接用于设计这样的双调谐中间级。对于同步调谐的情况，作者强烈推荐(因为轻微失谐的影响要小于的情况)所需的值可以直接从这样一个事实中得到：的值必须等于由双调谐电路提供的极点对的实部。所需的耦合系数可直接从值等于这一极点对的虚部这一事实中得到。上述表达式中的是整个放大器所期望的总3dB带宽。

表 1高斯幅度逼近的个左半平面根

4. 多元件高斯滤波器网络

当简单的(单极点和双极点)间隔网络无法用于构建所需的相对衰减形状并且需要一个单一的集总滤波器单元时，仍然必须使用第3节给出的极点位置进行必要的综合过程，但知道这些极点位置只是过程的第一步。在进行其他步骤之前，展示一些可以直接应用所得设计信息的实际网络将会很有帮助。

4.1 低通梯形网络

图3显示了众所周知的基本低通梯形网络，可以设计为高斯响应逼近。通过应用基尔霍夫定律，为这样一个网络的个元件计算传输函数，读者会发现这个网络可以描述为：(A)耦合系数-给出相邻电抗之间的关系；(B)描述与每个单独电抗相关的电阻损耗的值。值得注意的是，端点处的电抗的值不仅包括它们自身的内部损耗，而且更重要的是，还包括连接到这些端部元件的源或负载的电阻。这些和关系在图3中详细说明。需要注意的是，通过将归一化值(小和倒数)乘以归一化带宽变量，可以得到所需的实际耦合系数[例如，]和衰减斜率(或)。

图3A - 对于以并联电容器开始的梯形网络，3dB带宽归一化和与 '，，和 之间的关系是：，，依此类推。；依此类推。

图3B - 对于以串联电感器开始的梯形网络，3dB截止归一化 '和 与，，和 之间的关系是：，，依此类推。，依此类推。

图3 - 本文设计数据可以直接应用到的低通梯形网络。要设计大百分比带通网络，首先使用所需的总3dB带宽为设计上述低通结构，然后在每个并联电容器上放置一个谐振电感，并将一个谐振电容与每个串联电感连接，使得每个产生的谐振电路都调谐到通带的几何平均频率上。

4.2 带通梯形网络

图4显示了适用于小百分比带通需求的重要情况的耦合谐振器带通电路。在这里，应用基尔霍夫定律于网络并求解得到的传输函数，该网络完全由：(A)相邻谐振器之间的耦合系数和(B)每个单独谐振器的值来描述；需要注意到，端点谐振器的值由连接到这些端部元件的源或负载电阻以及这些谐振器的内部损耗决定。这些和关系详见图4。通过将归一化值(小和)乘以归一化带宽变量，可以得到所需的实际耦合系数[例如，]和衰减()。

5. 相量相对衰减方程(Phasor Relative-Attenuation Equation)及其仅在一端有阻性负载的网络应用

5.1 无耗或均匀损耗元件的相量相对衰减方程

给定一个与式(5)形式相同的相对衰减幅度方程，相应的相量方程总是可以写成以下形式：

对于无耗元件网络，方括号中多项式的系数是通过将表1中的个左半平面根关联的个因子相乘而得到的，仅仅是产生最小幅值的带宽处方括号多项式的幅值。对于高斯相对形状，多项式的最小幅值出现在低通情况的零频率处和带通情况的中心频率(zero fractional bandwidth)处；因此，对于这些响应形状，。

当滤波器的每个元件(低通梯形中的电抗和带通情况下的谐振器)具有相同的有限值时，仍然需要使用形式(7)，但是首先需要通过将每个根的实部幅值减少一个等于每个元件归一化未加载减值(归一化未加载的倒数)的量来修改所需相对衰减的个左半平面根。然后，将得到的修改后或“预失真”的根值用于相乘以形式(7)的个因子。对于使用修改后根值的这种情况，应该意识到，得到的方程不是我们所期望的相对衰减幅值形状的相量；而是与“预失真”幅值形状对应的相量。

译注：作者在这里考虑了元件的Q值，也就是元件的寄生电阻R，当需要考虑元件电阻R时，就需要预先从根减去一个R所引起的衰减量，即实部减小一个值。这样最终得到的表达式就是考虑了Q值的表达式，可以用来综合有限Q值的滤波器。

5.2 连分数展开过程

现在，可以直接使用(7)中的结果系数来获得图3和图4中梯形网络所需的和值，其中网络中使用无穷大值或均匀有限值元件。

连分数展开过程的数学基础将在第6节给出，方法如下：在下面的(8)中，通过将(7)中的第1、3、5等项作为分子，将第2、4、6等项作为分母来形成分数：

图4A - 使用并联谐振电路的节点网络。每个节点的由给出，其中节点电容(或电感)是在其他所有节点短路时跨越节点的电容或电感。对于所示的三种耦合类型：, 和。任何相邻的一对谐振器都可以通过所示的三种方法中的任何一种耦合，然后如果有必要的话，可以将等效的T型替换为容性或感性的型。在将所有其他节点短路时，每个节点必须在处谐振。

图4B - 使用串联谐振电路的网状网络。每个网孔(mesh)的由给出，其中网孔电感(或电容)是与网格串联的其他所有网格断开时的电容。对于所示的三种耦合类型，, 和。任何相邻的一对谐振器都可以通过所示的三种方法中的任何一种耦合；然后，如果有必要的话，可以将等效型替换为容性或感性的T型。每个网孔在其他所有网孔断开时必须在处谐振。

图4 - 本文设计数据可以直接应用的小百分比带通梯形网络以及3dB截止点归一化和与、、和之间的关系。对于两种网络，和 当为奇数时，这个分数是所需的电抗梯形网络的短路输入阻抗，从一端观察到负载，归一化为这个负载电阻的值；也就是说，对于为奇数，它是。(通过将短路替换为开路，将阻抗替换为导纳，将电阻替换为电导，可以得到的奇数的对偶输入函数。)

当为偶数时，分数(8)是所需的电抗梯形网络的归一化开路输入阻抗。(同样，可以使用对偶性来获得为偶数的对偶输入函数。)

接下来，将(8)展开为连分数形式，由连分数展开的第一个商给出梯形网络第一个臂的归一化阻抗，即靠近负载电阻的那一臂。下一个商给出梯形网络第二个臂的归一化导纳。第三个商给出第三个梯形臂的阻抗，依此类推；阻抗和导纳函数交替出现(这种同样适用对偶情形)。

上述连分数展开产生的商的数值部分通常被称为归一化梯形网络系数，用字母、、等表示。要从这些值转换为归一化衰减和耦合系数形式的电路常数，我们使用以下简单的关系式：

5.3 单端接载梯形网络的设计

5.3.1 无耗元件设计数据，

当完成(7)，(8)和(9)所描述的数值计算工作后，可获得表2中的设计数据，该数据用于生成高斯幅度逼近的无耗元件梯形网络，最高可达9阶。注意表中给出了归一化端部元件的；这只是归一化衰减的倒数。此外，必须意识到实际所需的耦合系数和端部衰减是通过将表2中给出的归一化值乘以归一化带宽变量(对于低通滤波器)或(对于带通滤波器)来获得的。

表2的最后一列给出了小百分比带通情况下的梯形网络的网格-网格之间的增益，其中和是独立选择的，电压控制电流源的梯形一端，输出电压出现在梯形的另一端。注意有意思的一点是，对于恒定的端接谐振电容，当高斯逼近的阶数提高时，传输增益显著降低。

表 2单端加载的“无耗”梯形的阶高斯滤波器设计数据

对于低通和大百分比带通情况，没有给出零频率增益列，因为在具有无限元件的情况下，等效戴维南电源的开路电压将始终出现在输出端子上。

5.3.2 均匀有耗元件的设计数据， 和

对于由均匀有耗元件组成的5级和8级单端加载网络，表3和表4分别给出了用于使有耗网络产生5阶和8阶高斯逼近所需的归一化的和。为了节省空间，针对工程师所使用的网络元件的归一化无载 的特定值，给出了所需的 和 。显然，要获取任何其他归一化无载 的设计数据，读者可以通过从这些数据构建图表来进行插值。

值得注意的是，归一化无载值较低的元件，如0.7或0.8，可以用于构建实际高斯响应形状的滤波器。

表3和表4的最后两列给出了有耗网络的最大传输阻抗()；倒数第二列以一种对于小百分比带通电路最有用的方式进行归一化；而最后一列以一种对于低通梯形电路最有用的方式进行归一化。

在倒数第二列中，对于小百分比带通情况，给出了格间增益， 和 是第一个和最后一个谐振器的独立选择的节点电容， 是源的跨导。

在表3的最后一列(低通增益)， 是并联在低通梯形网络中负载电容器上所需的总阻抗。在表4中的相应列中， 是串联在低通梯形网络端部电感器上的附加电阻。

确保将源和负载正确连接到在一端或两端具有并联元件的梯形网络的简单步骤如下：

(A)设计完整梯形网络，其中需要包括加载电阻，而不需要考虑实际源或负载的具体连接方式和值。

(B)在网络两端的电阻上分别画一个无限阻抗电流源，并在网络另一端的电阻上画一个开路输出电压端子；在表3和表4的最后两列中给出的是这个开路输出电压与这个无限阻抗输入电流的比值。

(C)实际要使用的等效电流源几乎总是会有一些并联电阻和并联电容与它相关联：因此，将输入节点的并联 和 分成两部分，一部分等于必须由要使用的源提供的部分，剩下的部分由电路设计者提供。在网络负载端采用类似的方法，找到电路设计者必须提供的最后一个节点或网格的那部分。

表 3仅在一端加载的均匀耗散梯形网络的5阶高斯滤波器的设计数据

为了节省空间，这个设计信息是针对特定的归一化无载 值给出的。要获得任何归一化无载 的设计数据，读者应该根据这些数据为 和每个 与 绘制一张图。

6. 反射系数及其在双端加载网络设计中的应用

在达林顿(Darlington)1935年的经典论文 中，他提出了一种用于综合两端阻性加载的无源网络的基本方法(实际上，这种通用的达林顿综合方法的一个极限情况是在第5节中为单端加载网络给出的基础)。下面给出了描述达林顿综合方法基本原理。

一个基本事实是，如果我们知道纯无源梯形网络在电阻终端处所需的相量电压或电流反射系数方程，那么可以从这个方程中得到该相同网络短路(或开路)输入阻抗(或导纳)的更简单表达式。然后，如果没有无限衰减的有限频率点，那么通过对这个输入阻抗进行简单的连分数展开，将依次给出满足原始指定的相量反射系数的梯形网络的每个无源臂所需的元件值。

有了上述工具，要综合产生高斯幅度逼近的网络，需要解决的问题是：如何从所需的相对衰减幅度的形状开始，从中得到一个终端无源网络的相应相量的反射系数？

6.1 反射系数幅度的计算

由于指定了一个纯无源终端网络，这个问题非常简单——所有通过网络输入端接收的功率都必须出现在负载电阻上，这样才能产生所需的相对衰减形状；因此可以使用下面三个量之间的已知关系：来自电阻源的可用功率 、复输入阻抗接收的功率以及这个电阻源和这个复输入阻抗之间的反射系数的幅度平方；即，

对(10)进行简单的操作，得到重要的形式，

其中 是在接受峰值功率频率下网络接收的功率。

表 4仅在一端加载的均匀耗散梯形网络的8阶高斯滤波器设计数据

为了节省空间，这个设计信息是针对特定的归一化无载 值给出的。要获得任何归一化无载 的设计数据，读者应该根据这些数据为 和每个 与 绘制一张图。

由于在任何频率下接收的功率 和在峰值频率下接收的功率 都传递给完全相同的负载电阻，它们的比值当然也等于，这是我们所需的相对衰减形状的幅度平方的方程。由于指定了所需的幅度形状，因此，(10A)中的方程 是已知的。

(10A)中的量 是在峰值响应频率下接受的功率与电阻源可提供的最大功率之间的比值，因此是必须选择的一个简单比例；可以使用从1到0的任何值。通常，对于在两端阻性加载的网络，希望峰值频率的输出等于源可提供的最大功率，因此将 设置为1。对于仅在一端电阻性加载的网络，负载不传递功率；在这里， 设置为零。(第5节已经讨论了这种情况。)

以上解释了从指定的高斯逼近相对衰减形状方程(6)到纯无源电阻终端网络必须具有的电压或电流反射系数的幅度平方的转换。重写(10A)的形式，突出(5)中在分子中的重要作用。通过将(5)的形式作为(10A)的分母，可以得到：

6.2 相量反射系数的确定

接下来的问题是确定与幅度相关的相量反射系数。我们可以分别考虑的分子和分母相量。

首先考虑的分母，需要解决分母的 根(共有 个)，它们必须乘以，然后，因为这个分母是(5)中的多项式部分，即物理可实现的传输函数，所以需要选择 个左半平面 的根，将它们组成的 个根因子相乘得到相量分母。对于理想 元件，这些分母根当然是表1中已给出的那些；对于均匀耗散的网络元件，这些分母根是通过将表1中根的实部幅度减小每一个元件的归一化衰减量而形成的预失真根。

接下来考虑的分子；这个方程表明，首先要形成已经得到的预失真相量分母多项式的幅度，然后找到这个方程多项式部分的最小值，然后从这个多项式中减去乘积。现在可以找到这个新多项式的 根。然后将这些根乘以，并选择得到的 根中的 个，组成所需的 个根因子。这里出现了一个小问题——因为这个分子不是一个物理传输或输入函数，所以这 个根可以有多种选择方式，但始终要记住，从这些根形成的相量必须具有原始分子的幅度。在本文中，首先选择所有 个右半平面根，形成一个与(10B)的分子相对应的相量。

当上述根因子相乘时，现在可以写出与相对应的相量反射系数，

其中， 和 是分母和分子的 个根因子相乘时得到的数值系数。

6.2.1 确定短路或开路输入阻抗

从上述相量电压或电流反射系数，可以立即得到相应的终端归一化输入阻抗或导纳；它是(11)的分母与分子之比与分母减分子之比。

与相应的短路或开路导纳相比，这种终端输入阻抗的展开相当繁琐，因此直接从(11)中导出后者函数是非常可取的——这是通过在终止输入阻抗的分子中省略第2、4、6、...项，分母中省略第1、3、5、...项来实现的；得到的结果是(12)，可以直接从(11)中得到。

当 是奇数时，这个比值是所需的无耗梯形网络的短路输入阻抗，从梯形网络的一端看，归一化到将在这一端使用的加载电阻 的值；也就是说，对于 是奇数，(12) 是。(将短路换成开路，阻抗换成导纳，电阻换成电导，就可以得到 为奇数的对偶输入函数。)

当 是偶数时，(12) 是所需的无耗梯形网络的归一化开路输入阻抗。(再次使用对偶性质可以获得 是偶数的对偶输入函数。)

接下来，将(12)以连分数形式展开，连分数展开的第一个商给出第一个梯形臂的无耗部分必须具有的归一化阻抗(靠近 加载电阻的臂)；接下来的商给出梯形网络第二个臂的无耗部分的归一化导纳；第三个商给出第三个梯形臂的无耗阻抗，等等；阻抗和导纳函数交替出现。(再次使用对偶性质。)

上述连分数展开产生的商的数值部分通常称为归一化梯形网络系数，我们将其表示为, ...。为了将这些 转换为电路常数的归一化衰减量和耦合系数形式，使用(13)中的简单关系。

6.3 确定网络另一端的短路(开路)输入阻抗

在上述过程中，实际上已经通过短路或开路梯形来移除了远端加载电阻；因此，有必要使用额外的步骤来确定所需的加载。推荐的做法如下：为了获得相量反射系数(11)的分子，从(10B)的分子根中选择了个根，它们成对共轭。现在，如果使用关于 轴的另外 个镜像根来形成(11)的分子，那么在观察网络另一端时，将得到所需的相量反射系数，归一化到必须在这另一端使用的加载电阻。

表 5两端阻性负载的阶零功耗高斯滤波器设计数据，无耗元件梯形网络

两组根产生的数值系数相同，但是，对于镜像根，(11)分子中的第2、4、6、...项的符号将与原始根集合获得的符号相反。

因此，当形成该网络另一端的短路(开路)输入阻抗(导纳)函数时，它将完全以(12)的形式呈现，但分母项将由指示的 U 和 之差而不是和组成。

将这个新函数以连分数形式展开，将给出归一化到网络远端的终止电阻的梯形网络臂阻抗。连分数展开的商的数值部分给出了一组新的梯形网络系数，并从以下公式中获得元件衰减量和耦合系数：

需要的最后一个臂的加载衰减量 是所需的信息，作为数值工作的检查，(14)中的相应归一化 应该与(13)中的相同。应该记住， 是每个网络元件的归一化均匀未加载衰减量；也就是说，对于低通无耗阻抗， 和，对于要使用的带通谐振器，。

6.4 双端接载最大功率传输梯形网络的数值设计数据

6.4.1 无耗元件设计数据

当完成(10B)、(11)、(12)、(13)和(14)所概述的数值工作后，我们可以得到表5中的设计数据，该数据用于产生高斯幅值逼近的无耗元件梯形网络，直至第9阶。

与本文中呈现的所有设计数据一样，这些是3dB带宽归一化值。对于带通情况，实际所需的是通过将 值乘以所需的 的倒数来获得的，实际所需的 是通过将 值乘以所需的 来获得的。对于低通情况，归一化带宽变量是。

这些设计都具有零中频功率损失；在通带的中频，所有来自等效电阻和源的可用功率都传递到电阻负载。根据这个事实，带通和低通传输阻抗或增益可以简单地计算出来。

在实践中，表5中的无耗元件设计数据主要适用于低通和大百分比带通滤波器，因为这些情况下对无限归一化空载 的假设基本上是满足的。(请记住，低通梯形网络中电感器的归一化空载 是)。

表 6均匀耗散梯形网络电阻式两端加载的5阶最小功率损失高斯滤波器设计数据*

为节省空间，这些设计信息针对特定值的归一化空载进行呈现。要获取任何归一化空载的设计数据，读者应根据这些数据绘制和每个与的图表。

表 7均匀耗散梯形网络电阻式两端加载的8阶最小功率损失高斯滤波器设计数据*

为节省空间，此设计信息仅针对特定的归一化无载Q值提供。要获取任何归一化无载Q值的设计数据，读者应根据这些数据绘制一张和每个与之间的图表。

6.4.2 均匀损耗元件设计数据 和

在小百分比带通电路中，归一化无载谐振器 是一个重要的参数，其定义为。在实际应用中，这个 很少大于10，甚至在某些情况下可能低至2或3。这意味着在这种情况下，我们不能假设电路元件具有无限无载值。

为了解决这个问题，我们可以对表1中的高斯逼近根位置进行预失真处理，即将其除以。然后，按照第6节中的综合过程进行设计。这样，我们可以得到表6中的5阶有损高斯梯形设计数据和表7中的8阶有损高斯梯形网络设计数据。这些高斯梯形电路在源阻抗和电阻负载之间工作，能够在给定无载元件的情况下，实现最小的中频功率损耗。

在这些表格中，最后一列给出的增益信息类型与表3和4中详细描述的相同。简而言之，这些增益信息可以帮助我们了解在不同设计条件下，电路的性能如何受到影响。通过对这些数据的分析，我们可以优化电路设计，从而在实际应用中实现更好的性能。

7. 设计实例

7.1 低通滤波器实例

7.1.1 要求：一个5阶低通高斯滤波器，3dB带宽为1.32MHz。

7.1.2 使用在3dB截止频率处测量的无载Q值为100的电感在经济和结构上是可行的；当然，这就是低通归一化无载元件Q，即。从表3或表6的第一列(读者可以根据这些表格准备的图表的横坐标)可以看出，Q值为100将导致一组所需的k值和末端q值与无限无载Q集合可以忽略不计的差异。[准确的所需值可以从准备好的图(图5)中读取，但对于这个例子，我们将使用无限无载Q集合。]

图5-最低损耗(Minimum-transducer-loss)3dB截止归一化和，需要产生高斯逼近幅度形状。 和。

7.1.3 单端加载的滤波器在正确调整单个负载电阻和k值方面对其正常运行的依赖程度要高于双端加载的网络。因此，决定使用双端加载设计；将使用表6。

7.1.4 为了吸收与等效源相关的分布电容，将使用其第一个元件为对地电容的低通梯形。

译注：简单来说，我们使用这种具有并联电容作为第一个元件的低通梯形电路来优化电路设计，使其能够在降低与源等效相关的并联电容影响的同时，保持滤波器的性能。

7.1.5 值得注意的是，如果源等效和负载电阻是由诸如电子管或晶体管之类的有源元件产生的，那么在整个源信号周期内确保它们的动态阻抗保持真正恒定的值非常重要。在不使用显著负反馈的情况下，这很难实现，通常情况下，在信号周期的低电流部分，动态阻抗明显高于高电流部分。最安全的做法是将潜在的非线性源和负载与网络的末端隔离，并使用真正的电阻来提供源和负载电阻。

简而言之，如果我们使用像电子管或晶体管这样的有源组件产生等效源和负载电阻，那么就需要确保在整个驱动信号周期内，这些组件的动态阻抗保持恒定。如果不采取适当的措施，如在有源元件周围应用负反馈，这将难以实现。在信号周期的低电流部分，动态阻抗通常会比高电流部分更高，从而影响电路性能。

为了避免这种问题，最好的做法是将具有非线性特性的发生器和负载与网络隔离，并使用真正的电阻器件来提供发生器和负载电阻。这样可以确保电路在整个信号周期内保持稳定的性能，从而提高整体系统的效率和准确性。

7.1.6 在要插入滤波器的系统中，信号幅度和增益考虑要求整体低通滤波器的传输阻抗至少为75Ω。从表6的低通传输阻抗列可知，这要求(上的结果负载电阻)为150Ω。

7.1.7 现在通过从开始，逐个元件向右进行低通设计。

(A) 对于第一个元件为对地电容的低通梯形网络，

Therefore,

Therefore,

is of course the 3 -decibel-down radian frequency of the combination by itself ; thus the 3-decibel-down frequency of this combination must equal 10.1 megacycles. 当然是组合本身的3dB截止弧度频率；因此，这个组合的3dB截止频率必须等于10.1MHz。

在完成的滤波器中，检验和是否正确的一个好方法是实验测量这个组合的3dB截止频率。

图6 - 低通高斯逼近滤波器的实际尺寸示意图，该滤波器是根据第7.1节的低通设计示例综合的。

(B) 对于这个低通梯形网络，

因此,

得到,

当然是组合本身的谐振频率；因此，必须与已知的在5.85MHz处谐振。

在完成的滤波器中，确定正确的最佳方法是实验测量和的谐振频率。

(C) 要获得第三个低通元件值，

因此，必须与在2.64MHz处谐振；

(D) 和 (E) 依次应用和列得到所需的相邻臂谐振频率和元件值，即MHz；uH，MHz；pF。

(F) 最后，列给出了组合本身所需的3dB截止频率

现在低通滤波器的设计已经完成。图6是一个实际滤波器的照片。

这种滤波器的实验观测性能值得关注，图7是一个复合图像，显示了类似于上述设计单元的滤波器的一些响应特性，但其3dB带宽为0.84MHz。

7.2 带通滤波器设计示例

7.2.1 需求：一个用于载波中心双边带系统的5阶带通高斯滤波器。所需中频为70MHz，所需的3dB带宽为2.75MHz。因此，所有与衰减量和耦合系数相关的参数需要被归一化处理，归一化的基准是3dB带宽与带宽之比，其值为。

图7A - 滤波器的3dB带宽为0.840MHz，扫描速度为us/cm。驱动为0.18us脉冲源。

图7B - 与图7A相同的脉冲输出，但示波器增益增加了，使得一个垂直档位为峰值脉冲输出的；显示的下冲和振铃约为峰值输出的60dB以下。

图7C - 滤波器输出作为脉冲输入宽度(恒定输入幅度)的函数。输入脉冲宽度分别为和0.10us。扫描速度为us/cm。

7.2.2 在70MHz的频率下，使用具有150至200区间的无载Q值的商用铁氧体磁芯调谐线圈作为谐振器是实际和经济的。将要使用的镀银云母电容器具有约1000的Q值。因此，谐振器的无载Q值将在130至170的范围内。为了获得实际的谐振器无载Q值，重要的是将实际的电感和电容放置在将在滤波器实体中使用的屏蔽隔室中，然后使用与屏蔽谐振器非常松散耦合的源和检测器测量其无载3dB带宽。如果测量的无载谐振器Q值为150，那么归一化的无载Q值将为。因此，表3和6中的第二行给出的设计数据可以直接使用。如前所述，可以通过绘制表格的适当区域来获得任何可用谐振器无载Q值的k值和末端元素q值。

7.2.3 滤波器将在五极管(pentode tube)之间工作，因此可以使用仅在一端加载的设计；然而，由于使用双端加载设计时，响应形状对元件值变化的敏感性较低，因此将采用后者来进行设计。

7.2.4 在驱动电子管的栅极和阴极之间放置一个75Ω的电阻，因为栅极对电子管的偏置电压变化和老化所致的传输时间和空间电荷输入阻抗变化较大。如果要在较小的公差范围内复现响应形状，那么最好不要在这个栅极到阴极阻抗中使用滤波器谐振器。还决定在栅极和阴极之间使用一个电感器来抵消该端口的输入电容(约13pF)。由于它的带宽非常宽，所以在滤波器的整个带宽范围内，它可以被认为是一个纯75Ω的电阻终端，用于连接滤波器本身到栅极的75Ω电缆。由于它有适当的终端匹配，所以这个电缆的长度并不关键。

7.2.5 对于多谐振电路滤波器，实用的校准方法与正确的设计同样重要——文献中提供了一种推荐的校准方法。当滤波器的低Q端连接到源时，此过程中使用的交替最大值和最小值更容易观察。在表6中，谐振器1位于滤波器的低Q端；因此，出于校准的原因，这一端将由源驱动，75Ω负载将转换为滤波器的高Q端(第五个)谐振器(转换过程将在后面讨论)。

7.2.6 系统要求管子和滤波器电路提供的栅-栅电压增益至少为1。简单地计算负载功率与可用源功率的方程，可得结果为

其中为等效源电阻，比值为功率增益(小于1)，以dB为单位给出在表5、6和7的功率损耗列。对于归一化的无载Q值为5.88，表6显示中频功率损耗为3.3dB或。如果电子管驱动具有12000uΩ的，(15)表明源阻抗必须为820Ω才能使得栅-栅增益为1。

7.2.7 出于两个原因，决定将滤波器的第一个谐振器直接放置在驱动管的阳极中。

(A) 820Ω的源电阻与管子和接线输出电容(约4pF或570Ω的电抗)并联。因此，当谐振时，等效源将具有1.44的Q值，或归一化Q值为0.056。从表6可知，谐振器1的归一化加载Q值必须为0.1309；源归一化Q值显然不是与此值相比为零，因此不能认为源是纯阻性的，并试图通过阻抗变换将其耦合到这个端谐振器。

(B) 即使它是一个纯阻性源，可能也无法构造出一个作为单独实体的变压器，该变压器具有可忽略的频率响应；也就是说，与此端接谐振器所需的低加载Q值相比，归一化Q值可忽略不计。

7.2.8 在小百分比带宽滤波器中，内部谐振器的电感(或电容)的中频电抗可以独立于响应频率要求或增益要求来选择——可以根据获得最大无载谐振器Q值和实用机械结构的要求来选择电抗值。

对于这些内部谐振器，将使用85Ω的电抗，需要27pF的总节点电容。

对于小百分比带宽滤波器的端部谐振器，有如下需要注意的地方：

(A)如果要将电阻性源或负载通过阻抗变换来正确设置第一个和/或最后一个谐振器，则这里的谐振器电抗也可以根据实用的机械结构和高无载Q值来选择。

由于要将欧姆电阻负载转换为正确的第五谐振器，这个端部谐振器可以类似于内部谐振器；一个需要27pF总谐振电容的电感器。

(B)然而，如果源或负载要直接连接到第一个或最后一个谐振器，则源电阻与谐振器电抗之间的比值必须恰好满足表6中(或)列的要求；如果源电阻固定，则必须使用特定的谐振器电抗，反之亦然。

在本例中，源电阻已固定为820Ω，并且将直接放置在第一个谐振器上。注意到，其中是将源电阻单独放置在谐振器上产生的归一化衰减值，(16)可以简单地导出，并给出谐振器电抗与源电阻之间所需的关系。

其中是表6中列的倒数，是列的倒数。

将值代入(16)可得，或pF。

7.2.9 现在每个节点的总电容已经确定，需要决定要在相邻节点之间使用的耦合机制。关于耦合机制选择的坚定规则很难制定-一般来说，由机械结构支配的设计者的独创性可以导致多种选择。我们将在第一个节点和第二个节点之间使用电容耦合，在第二个节点和第三个节点之间使用电容耦合和辅助互感耦合的组合，在第三个节点和第四个节点之间使用电容耦合，在第四个节点和第五个节点之间使用互感耦合，以及通过高侧电容阻抗转换来正确地用75欧姆电阻负载加载第五个谐振器。

7.2.10 使用表6第二行的设计数据，现在可以设计滤波器网络。

在下面的步骤中，计算将给出所需耦合系数所需的耦合电容或互感。然而，必须指出的是，由于用于滤波器网络实物中的屏蔽封装导致接地平面靠近，这会显著影响电容器提供的直接电容值，甚至更强烈地影响电感器或一对电感器提供的自感或互感值。因此，特别是当需要较小的值时，滤波器中实际所需的耦合电容器和/或电感器通常无法通过表(例如)测量组件直接获得；文献中详细介绍了一种实验性设置每个耦合系数和每个端部的推荐方法。由于所述方法在滤波器组件将在最终实物中占据的确切位置下测量两个明确定义的响应峰之间的带宽，因此实际上可以将每个系数设置为所需值的1%以内。一旦获得了正确的值，可以使用表或直接测量物理尺寸来复制这些正确的值。

(A) 所需的是

我们已经通过在步骤7.2.8中使用(16)满足了这个要求。

(B) 第一节点和第二节点之间所需的耦合系数是

因此，所需的高侧耦合电容为

(C) 第二节点和第三节点之间所需的耦合系数是

在电感器尽可能靠近的机械布局下，测量得到的互感耦合系数为0.0344(此通过峰值带宽方法测量)。因此，所需的电容耦合为

因此，所需的高侧耦合电容为

(D) 第三节点和第四节点之间所需的耦合系数是

由于只使用高侧电容耦合，

(E) 第四节点和第五节点之间所需的耦合系数是

由于这个系数是由互感耦合提供的，所以峰值带宽测量是设置电感4和5之间物理间距以获得此值的推荐方法。

因为这个特定的系数对整个滤波器的3dB带宽度有重大影响，设计师可能希望使电感器编号5的位置略微可调，以便生产线上的调整可以用来精确设置滤波器的3dB带宽。

(F) 最后，必须设置加载的端部谐振器。从表6中，

这个是由第五个谐振器的空载和75Ω负载的变换阻抗效应所共同决定的。对这个关系进行简单处理，得到(17)式所需的变换阻抗：

将当前值代入(17)得到所需的变换阻抗 5030Ω。这里所需的大阻抗变换可以通过在75Ω负载和第五个谐振器顶部之间连接一个高侧电容器来简单地实现，其电抗为

因此

使用这种简单的变换方法，传递给负载的电压相对于频率略微不对称，高频响应的下降速度不如低频响应——对于小百分比带宽，通常可以忽略所产生的不对称性。

图-直接综合的节点网络。

图-第7.2节描述的精确等效网络使得在电路中加入一段同轴电缆成为可能。

图8-70MHz中频5阶带通高斯逼近滤波器的原理图，该滤波器在第7.2节的带通设计实例中综合。电容以pF为单位，电阻以Ω为单位。未标记的电阻表示空载谐振器的等效损耗。给出的元件值仅显示两位有效数字，而耦合系数公差通常要求2-5%的精度。这样做是为了强调在没有在滤波器中占据的确切物理位置的情况下，通常无法通过对组件的测量来精确调整这些耦合系数。相反，这些必须通过等效于峰值带宽测量过程的方法来设置。类似地，必须发展类似于例如描述的充分校准方法，并在本文的图10中加以说明。

图9-第7.2节带通设计实例中综合的70MHz带通5阶高斯逼近滤波器的实现。此滤波器的第一个谐振器包含在另一个单元中。

图是所得滤波器的示意图。

7.2.11 为了制造的目的，希望滤波器是一个独立的无源实体。通过在滤波器负载端使用75Ω电缆连接器，可以将此端与设备的其余部分物理分离(参见第7.2.4节)。然而，由于滤波器的第一个谐振器直接连接到驱动管的阳极，显然不可能将滤波器的这一端与设备的其余部分物理分离。如果希望将最后四个谐振器作为一个单独的单元，通过电缆连接到包含第一个谐振器的单元，可以使用以下步骤。

图10-当将检测器耦合到第一个谐振器并使用以下校准方法时，在5阶高斯逼近滤波器的第一个谐振器上出现的电压幅度与频率现象：(A) 第二个谐振器被短路，第一个谐振器在期望的中频(70MHz)调谐为最大电压。(B) 第三个谐振器被短路，第二个在期望的中频调谐为最小电压。(C) 第四个谐振器被短路，第三个调谐为最大中频电压。(D) 第五个谐振器被短路，第四个调谐为最小中频电压。(E) 最终负载被短路，第五个谐振器调谐为最大中频电压。(F) 最终负载被正确地转换成第五个谐振器，然后重新调谐为最大中频电压。(G) 得到的5阶高斯逼近传输形状。

(A) 第一和第二节点的节点到地电容的一部分与总的(2.57pF)结合形成一个容性。

(B) 将此容性转换为容性T。

(C) 通过一段电缆实现此T的并联臂，电缆的长度(当然，与波长相比必须非常短)应该足够提供所需的并联电容。

图 显示了包含这个“耦合系数电缆”的滤波器原理图。

值得注意的是，820Ω源电阻上留有4pF的电容；这是驱动电子管的输出电容。因此，已经从变换为T的电容包括3.4pF的并联腿和2.6pF的高侧腿。再次强调，在第7.2.10步中得到的电容值和图8中仅给出的两位有效数字仅供参考——耦合系数和端Q值应通过其他地方详细介绍的程序进行实验调整和检查，精度为正负2%。

图9是一个实例的照片，其中高斯中频滤波器的最后四个谐振器包含在一个铸件中。左侧进入的电缆提供了图要求的11pF电容，以满足，右侧的电缆通向75Ω电阻负载。

为了使滤波器能正常工作，每个节点必须精确地调谐到期望的中频(70MHz)。图10显示了当应用推荐的调谐方法时，在第一个谐振器上观察到的输出电压(通过松耦合的检测器)；最后的照片显示了正确校准滤波器的传输幅度-没有重新调整调谐控制便获得了此传输图像。

审核编辑：汤梓红