如何精准计算出书里每张纸的厚度？

给你一本书，你能用普通的刻度尺，量出一张纸的厚度吗？

答案是肯定的！我想读者都已经想到了到了。谜底是，量出全书的厚度（如果书很薄，可以把相同的书叠几本！），然后除以全书纸的张数，即得每张纸的厚度。

以《辞海》缩印本（1980年8月版）为例，该书除封面外厚60毫米，全书共2256页，计1128张纸，那么每张纸厚约

x=60/1128=0.0532（毫米）

上述方法可以用于类似的场合。

例如，为了测出细漆包线的直径大小，可以采用绕线的办法，在一根铅笔上，紧密地绕上n圈，测量出这n圈漆包线在铅笔上所占位置的长L，则该漆包线的直径d，显然应该满足

然而，尽管很多人都懂得应该这样去做，但并不一定所有的人都知道这样做的科学原理。

仍以测量《辞海》的书页为例，实际上我们很难找到书中哪一页纸的厚度恰好等于0.0532毫米，所有1128张纸都有它们各自的厚度（单位：毫米）

a1，a2，a3，…，a1128

只是这1128个数的总和是一个常量，即

而0.0532毫米，则是这1128个数的平均值。现在需要证明的是：对于量x的n个观测值a1，a2，…，an，它们的平均值

是所要测定的量x的最理想取值。式中求和符号表示从1累加到n。

事实上，最理想的取值x，应当使它与n个观察值的差的总和为最小。但考虑到差（x-ai）（i=1，2，…，n）可能有正有负，如果直接把它们相加，势必使某些差的值相抵消，影响了偏离的真实性，这显然是不合理的。

于是，人们想到了用（x-ai）的2次方来替代相应的差。这样一来，最理想的取值x应当使函数

取极小值。这是关于x的二次函数，易知当时y取极小。这就是为什么平均值可以看成是观测量最理想取值的道理。

同样的原理可以用于二维的情形，只是计算稍微复杂一些，我们将要得到的结果在数学上非常有名，叫作最小二乘法。它是德国数学家高斯于1795年创立的，那时他年仅18岁！现在假定我们观察到n个经验点：

（xi，yi），（x2，y2），…，（xn，yn）

如果我们认定这n个经验点Mi（i=1，2，…，n）是对直线y=Ax+B上的点在观测时的误差。那么，这些经验点Mi（xi，yi）与直线上相应点N（xi，Axi+B）之间的以下量

应当取极小值。“最小二乘法”的名称，大约就是由此而来！

函数y显然可以写成A的二次函数

时取极小值。整理得

同理，函数y又可以写成B的二次函数，而当这一函数取极小值时，又得

这样，由线性方程组

便可以确定参数A、B的值。从而得到一条最逼近n个经验点Mi（i=1，2，…，n）的直线

y=Ax+B

最小二乘法在科学上有许多妙用。

下面是一个实例，数学工具帮助历史学家解开了一个千古之谜！

传说古日本有一个邪马台国。239年，邪马台国女王卑弥呼曾经派遣使臣前往当时魏国的京都洛阳，向魏明帝（曹操的孙子）进贡物品。魏明帝赐卑弥呼为“亲魏倭王”，并赏给黄金、丝绸等大批物资。

这个历史事件，在经历了近两千年的漫长岁月后，在人们的记忆中渐渐淡薄，连邪马台国位于日本岛的何方也成了不解之谜！

东京大学有位历史学教授平山朝治，不仅精通历史，而且擅长数学。一天，平山教授正专心翻阅中国古籍史书《三国志》，突然一篇《魏志·倭》落入他的视野。文中记述了当时魏国使者前往倭国的实际行程。平山对邪马台国的奥秘发生了浓厚的兴趣。他把文章细读了一遍，见文中写道：

“从郡至倭，循海岸水行，历韩国，乍东乍南，到其北岸狗邪韩国，七千余里，始渡一海，千余里至对马国。……又南渡一海千余里，……至一大国，……又渡一海，千余里至末卢国，……东南陆行五百里，到伊都国，……东南至奴国百里，……东行至不弥国百里，……南至投马国，水行二十日，……南至邪马壹国，女王之所都，……可七万余户。”

然而，当平山先生读完全文时，原先热乎乎的心，凉了半截！

原来《魏志·倭》中的“里”，是个谜中之谜！这种怀疑不能说没有道理。古代的长度单位显然是不同于今的。就好像《三国演义》里描写刘备身高7.5尺，张飞身高8尺，关云长身高9尺。按现在换算，他们的高度堪称世界之最。..。..。

又如《水浒》中矮得出奇的武大，书中写他身高5尺，这在现在已是中等个儿，所以文中的“里”就更值得打个问号了！

不过，平山先生并没有因此灰心丧气。他从《魏志·倭》的字里行间的差异，分析出了伊都国应当是使者的大本营。又“对马国”和“一大国”，被令人信服地判明就是现今的对马岛和壹歧岛。这样，平山就使自己的所有数据，有了一个可被信赖的参照点。从而使得他能够运用科学的最小二乘法，找到了魏时的里与今天千米之间的函数关系

y=-9.90+0.0919x

由此判定，伊都国即当今日本国本州岛的福岗县。不过，接下去情况似乎有点不妙！因为最后推出邪马台国竟坐落在九州岛的荒凉山区。这是不可思议的！连平山本人也怀疑这样的结论！昔日有7万户的繁华国度，今天不可能荒无人迹！

经过反复研究，推测使者实际上走的并非是一条直线，而是一条弧线。经修正后，平山教授得出了以下结论：“古邪马台国中心，位于现日本国福冈县的久留米。”

审核编辑 ：李倩