三维空间的向量因素

自从笛卡儿（René Descartes）发明了坐标系，宇宙从此就有了秩序不再迷失方向；如果我们每个人都是宇宙中的小尘埃，在浩瀚的空间中各有各的方向，要怎么在茫茫人海中找出最契合的那个人呢？又该怎么知道心里在乎的那个人和自己到底有多契合？

爱情习题怎么解？让向量帮你一把 (๑•̀ ㅂ•)́ و✧

你都怎么评估和一个人的契合度？查查星座配对指数？或是合生辰八字？有没有什么理性的方法能够帮助我们？数学，乍看是和人生脱节的一门艰深学问，但其实数学很实用，运用向量内积公式或许可以帮忙解析人生的爱情习题。

首先让我们建立一个坐标平面，再去思考要如何评估彼此之间的契合度。评估两人感情可能与否的项目有很多，我们可以先举出心里觉得最重要的两个因素，分别列在X轴与Y轴。

举例来说，一位高中生担心毕业以后和暗恋的人还会不会有交集、彼此是否契合，这时就可以用一些准则来判断。由于笔者从小就是个趣味数学爱好者，因此将「喜不喜欢数学」这点加入评估因素中，我们就能以两个人毕业后的地理位置，还有喜欢数学的程度作为基准。把重视的这两项因素当作坐标上的指标，在X轴的两端分别标上北部与南部，而Y轴两端则是喜欢数学与不喜欢数学。

接着把自己和对方对于居住于「北部─南部」以及「喜欢数学─不喜欢数学」的倾向分别定出一个值，根据实际情况在-10～+10之间选一个整数，就可以在坐标平面上把代表自己和别人的向量标示出来，就像是下图S、R、V与Z四个向量各代表四个人的倾向。

住在中部喜爱数学的S想知道自己与其他人的契合程度，可以利用两个向量的内积大小去评估，也就是对方投影过来的值与自己相乘后得到的内积值，内积值愈大则表示契合度愈高。

有两种方法可以计算出向量内积，第一种方法是直接在图面上操作任两个向量A与B：把对方的向量B投影到自己的方向A，就会得到一个分量称之为「B对的A正射影」，再将正射影的长度A乘上的长度|A|后得到内积值。

三个向量投影到S向量以后得到的正射影。

第二种则是将数字带入向量内积公式计算，将A与B的x、 y分量分别相乘后再加总，便会得到内积的运算结果，除以A与B的长度乘积会得到cosθ，再进行反函数运算得到两向量的夹角θ：

两人契合不契合？夹角θ告诉你

从公式里面我们可以知道，内积结果会受到两向量的绝对值大小和夹角影响，其中夹角θ是判断和对方有无可能的关键，θ不仅决定了向量内积结果的正负号，也决定你和对方是同向或是反向！由两个因素坐标轴构成的二维平面中，依照θ的大小可分成三种情况：

第一种情况，两个向量的夹角小于90度，内积为正。这表示在目前的判断因素中，你们是比较接近的，夹角愈小你们也愈相投。而图上S与夹角小于90度的只有住在北部又有点喜欢数学的R。

第二种情况，两个向量夹90度相互垂直，你和对方彼此的正射影为0，相乘起来的内积值也为0，可以说是彼此之间没有相互作用。对于S来说，如果有个人对于数学不喜欢也不讨厌，居住地无论在哪里，内积皆为0。

那如果两个向量夹角超过90度呢？这是内积为负的第三种情况，在这两个判断因素中显然你们不太契合。就像是V住在北部不喜欢数学、R住在中部偏南部同样不喜欢数学，这两位与S就没有那么契合。

刚才的运算有一个假设，也就是坐标轴上的两个因素──「所在地区」与「喜欢数学的程度」是一样重要的。如果实际上喜欢数学的重要性只有所在地区的50％，这时候只要把所有向量的y分量乘上系数0.5就可以了，其他步骤不变。

三维空间的向量。

在意的因素很多？就用三维空间来解！

虽然这个方法可以简单地算出两人的契合度，但在现实生活中，如果在意的因素不只两种，是要先挑出其中两种在平面上交叉比对吗？还是有什么更好的方式？

其实只要改变坐标轴上的判断因素，内积结果就会明显不同，但把判断因素排列组合再进行比对不太有效率。因此，有三个因素的话就把Z轴也标上去吧！让整个坐标系增加一个维度，这道爱情习题也会从平面延伸到立体：

在三维空间中，向量内积的计算方式与二维空间非常相似，将各分量相乘之后加总便可得出内积值，只要移项就能算出空间向量的cosθ，再进行反函数运算就能得到θ值。那假如自己在意的事很多，有四个因素以上呢？这时内积的计算也可以用变量相乘后的总和计算，不过还需要算cosθ吗？其实是可以的。

此处的cosθ可以视为两组变量的相关系数（correlation coefficient, r），这是个介于1与-1之间的值，愈高则表示这两组变量的相关性愈高，当然两个人的契合度也就愈高啰！掌握了这个方法，就算变量再多也不会心烦意乱，只要照着前面说的顺序，就可以顺利判断了。

什么是最重要的？外表、智商还是价值观？

等等，我听到有人说是不是弄错了什么：「喜欢数学是感情中的关键判断因素吗？那是作者自己觉得吧？又不是每个人都是数学控。如果换成其他事情，结果应该会不同吧？难道不能用外表、智商判断就好吗？」仔细想想，外在条件好的确有很强的吸引力，但是两个人的外表与智商接近就代表彼此契合吗？似乎没有一定关系呢。

其实每个人的择偶基本条件不同，多少都会对于长相、智商或EQ（emotional intelligence quotient）设有一些基本门坎，笔者建议过了这些门坎之后，再来利用坐标平面以判断彼此的契合度比较适合，所以不需要将外在条件放到坐标轴上判断。

现在要深究的是「这个人到底和自己的契不契合？」建议能以距离、价值观或是喜好等因素来衡量。共同喜好也不能只看表面（例如都喜欢打篮球），而是要看这是否反映了较相近的物理、心理距离或相似的价值观，当然啰，愿意花多少时间在彼此身上也是一个可以考虑的点！

比起查星座的配对指数或者生辰八字，使用向量内积去评估契合度在逻辑与程序上较有根据，也能探询自己心中的声音；这道爱情习题的决胜点就是「知道什么是对自己真正重要的」，最理想的情况是对方判断时也使用类似的因素。

如此一来，双方对于重要的因素进行全盘考虑以后，就不会只看到自己想看到的表象，自然就不会为了凑出一个小于90度的θ值，硬是选择不是重点的坐标轴，在数学上计算出来的契合度看起来好像很高的样子。

向量内积判别法不只可以用在看似和理性沾不上边的爱情，还可以用在求职找工作，只要把自己重视的因素列出来，依照当下重视的程度给予判断因素相对的权重，便可进行计算看看自己适合什么工作。

想找到契合的人？先动笔算一算数学吧！

印度哲人奥修（Osho）说过，人生的两个重要问题是有先后次序的。第一是我要往哪里去？再来是谁要和我一起去？这两个问题提问的顺序一旦搞错，就会造成很多痛苦。在人生不断变化的轨道中，发现彼此契合是件很美好的事情。为了别人大幅调整自己的步调多半行不太通，不如先决定往哪个方向，了解自己在乎的是什么，再看看谁适合和你一起去吧！

而在采取行动之前，也别忘了先动笔计算一下你们之间的夹角θ，那可是这道爱情习题的解题关键呢。