二进制加法
我已经忘了是什么时候学的加法了,应该是小学吧,先学10以内的,再学100以内的,然后不管多大的数都可以随便加了,算式很简单,就是逢10进1。
下面这个式子是一个万以内的加法:
相应的,二进制就是逢2进1,下面这个式子是2个8位二进制数的加法计算:
半加器
8位二进制数还太复杂,我们先来看看1位二进制数怎么计算的,一共有以下4种情况:
观察一下就能发现2个规律。
第一个规律,只考虑加法,不考虑进位时,加数与和之间的关系如下:
相同为0,不同为1。这个关系和「异或门」是相同的:
异或门我们之前没有聊到过,电路图长这样:
第二个规律是,如果只考虑进位,不考虑加法,加数与进位之间的关系如下:
只有全1时,才为1。发现了吗,这和本文开头与门的真值表是一样的。
2个一位二进制数相加将产生一个加法位和一个进位位,加法位输入与输出的关系跟与门是一样的,进位位跟异或门相同。
所以,可以像这样把两个门电路连起来,计算2个二进制数(A和B)的和:
我们称这个电路为「半加器」,因为它只能计算2个一位二进制数的加法,没有办法将前面加法可能产生的进位纳入下一次计算中,如果有进位则实际上是需要3个加数参与计算。
用门电路画太复杂,可以封装起来这样表示半加器:
全加器
怎样计算3个加数的二进制加法呢?需要将2个半加器和一个或门如图连接起来:
左边能看到它有3个输入,右边依旧是1位加和输出,1位进位输出。
2个数的加和与上一次的进位相加,得出的加和作为3个数最终的加和;2个数相加或3个数相加的进位作为3个数加和最终的进位位。
用文字描述有点不好理解,把这个电路图全部输入和输出情况都展示出来,画一个表就明白了:
很明显,这个表就是2个一位二进制数带进位的全部状态。
每次做加法时画2个半加器和一个或门很麻烦,我们用下面这个图示把它们封装起来,这个能计算3位二进制数加法的电路就称为「全加器」。
加法器
现在回到开头那个二进制加法:
它有8个二进制位,到目前为止我们还只能计算2个一位二进制数,最多再增加一个进位的加法,我们最终的目标当然是2个8位、16位乃至32位数的加法。
其实,非常简单,用8个全加器一块算!
把8个全加器每个进位输出作为下一个的进位输入,首尾相连就可以啦!
每次这样画太麻烦,可以封装成一个框图:
大箭头代表8个输入/输出端,有8个独立的信号。
一旦我们拥有了8位二进制加法器,把它们级联起来,很容易就能得到一个16位或32位的加法器啦。
end
加法计算是计算机的基本运算,其实,计算机唯一的工作就是做加法计算。不论是减法、乘法、除法、在线支付、火箭升空还是AI下棋,都是利用加法实现的。
把加减乘除和逻辑运算等运算单元集成起来,就组成了CPU中的基本计算单元:ALU(算术逻辑单元Arithmetic and Logic Unit)。
用加法器计算2个数的加法其实就是用硬件方式实现了一个加法计算器,输入A和输入B的高低电平决定了输出S和CO的高低电平。
这样的电路同一时刻只能表示一种状态,只要改变了A、B中任意一位,输出就会有所变化。
现在我们想计算更多二进制数的加法,比如5个数A、B、C、D、E的加法(先不考虑进位)。
步骤应该是这样:首先把A、B作为输入,得出一个输出S1,我们要记下来S1的值,然后把S1和C作为输入,得出S2....以此类推,要记下很多个数,然后再用加法器计算。
5个数都已经很麻烦了,如果要计算更多个数该怎么办?能不能把每次计算完的结果存起来,下次继续使用呢?
我们的需求
这个加法器有个特点,就是两个加数A和B的值决定着加和S的值。
这个值是实时决定的,也就是说,A、B中只要有一个数据位发生了改变(0变1或1变0),加和就一定、立即发生改变。
我们如果想用这个加法器算「累加和」将会很麻烦,比如5个数A、B、C、D、E的加法。
首先把A、B作为输入,得出一个输出S1,我们要记下来S1的值,然后把S1和C作为输入,得出S2....以此类推,要记下很多个数,然后再用加法器计算。
工程师怎么会做这种无脑循环的工作呢,得想办法交给计算机寄几做。
好像只要做一个什么器件连在这个加法器的输出上,这个新器件能够保存加法器输出的和,并将算好的和再作为一个参数输入,传递给加法器就可以了。
注意这个新器件,首先它支持输入和输出;其次它能「保存」当前的值;最后,有一个类似「开关」的引脚决定它是否保持当前的值。
「保存」是什么意思?其实很好理解,就是不论输入的数据位怎么变化,输出都不变。
不考虑8个数据位,先只搭建一个这样具有「保存」功能的门电路,能保存一个bit就ok。
或非门点灯
科岩已经点灯无数,这次依然从点灯开始,用或非门试一下。
「或非门」的真值关系如下表,记住输入只要有1,输出一定为0就可以了。
或非门的符号:
按照下面这个电路把两个或非门与一个小灯泡连起来,如图:
仔细观察,能发现我把右边或非门的输出直接作为输入连接到左边或非门上,这会产生什么神奇的现象呢?
如上图,最开始,左边或非门的输入都是0,输出为1;右边或非门输入一个是0,一个是1,输出0,灯泡是不亮的。
现在把开关S1连通,连通瞬间,左边或非门输出0,右边或非门输出1,灯泡被点亮,然后右边或非门输出的1给到左边或非门,2个输入都是1,它的输出为0保持不变,灯泡点亮不变。
接着我们把开关S1断开,如下图神奇的事情发生了,灯泡依然保持点亮状态!因为左边或非门仍有一个输入是1。
如果把S2闭合会怎样呢?灯泡马上熄灭了。
这时再打开S2,电路回到最初的状态,灯泡还是熄灭状态。
可以总结规律了:
•导通S1,灯泡点亮,不论我们怎么控制S1,灯泡都是亮的•导通S2,灯泡熄灭,不论我们怎么控制S2,灯泡都是亮的
这不就达到我们想要的「保存」功能了嘛,不论输入的数据位怎么变化,输出都不变。
触发器(Flip-Flop)
像上面把两个或非门连起来,能够稳定保存电路状态的电路被称为「触发器」。
Flip-Flop的意思是「翻转」,中文翻译比较奇怪,我们通常理解的触发器是Trigger,不过没关系,其实就是个名称而已。
上面这个触发器叫做R-S触发器,它有2个输入端S(Set)和R(Reset),2个输出端Q和~Q(实在打不出Q上面的横线o(╥﹏╥)o)。
当S为1时,输出Q为1,~Q为0;当R为1时,输出Q为0,~Q为1;当S和R都为0时,输出Q和~Q保持不变;当S和R都为1时是一个不正确的状态,我们不使用这个状态。
不是特别绕吧?画个表:
R-S触发器最大特点就是它能记住2个输入端的状态。想要记住上一次的状态时,把2个输入端都置0就可以了。
每次画2个或非门太麻烦,封装一下:
end
有了触发器,计算机除了算些加减乘除、与或非逻辑运算,开始具备了存储功能,我觉得触发器真是一个神奇的存在,把平平无奇的门电路连起来竟然就赋予了计算机「记忆」。
计算机中寄存器(Register)、内存(RAM)最最基础的组成单元就是触发器。
理解了触发器的工作原理,也就理解了内存的工作原理。
编辑:jq
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原文标题:一文搞清楚硬件加法器和触发器
文章出处:【微信号:gh_c472c2199c88,微信公众号:嵌入式微处理器】欢迎添加关注!文章转载请注明出处。
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