量子电路的两点特殊
Axiom 1: Superposition principle
量子态是可以叠加的。
而叠加态的性质赋予了量子指数增长的可能。
一个量子比特就是二维Hilbert空间中的向量,两个量子比特就是四维Hilbert空间的中向量,三个就是八维, nn 个量子比特就是 2n2n 维Hilbert空间中的向量。
另外,需要注意的一点是,即使我只是在一个量子比特上操作,变化的也是整个系统。
Axiom 2: Unitary Evolution
量子电路和经典另一个重要的不同就是量子电路是可逆的。
经典电路没有可逆的要求,比如OR门,如果输出是1,你知道输入是什么吗?(1,1)、(1,0)、(0,1)都有可能,因为信息丢失了,四种输入的可能,输出却只有两种,信息丢失了。
而量子的操作变换则必须是酉变换,即,可逆,我可以根据我输出的信息反推我的输入。
量子可逆电路
经典可逆电路其实是比较容易的。
NOT门,他自己就是可逆的,取反再取反就是本身。
AND门,C-SWAP门其实就可以代替AND门
将z固定为0,则c只有在x和y都为1的时候为1,其余时候为0,满足AND门的要求。同时因为有a和b的存在,可以轻易的推导出x,y。
如果将希望能够从输出推导出输入,那么显然,会有junk bit(垃圾比特)的存在,即除了我们想要目标以外的结果,不是我们想要的目的,但是是我们推导输入不可或缺的存在,对于C-SWAP门来说,就是a,b。
junk bit对于经典比特来说,就是多出来的比特而已,但是对于量子比特来说,却是需要被remove的东西。如果不处理,会影响后续的计算。所以说,设计量子电路,第一个问题其实不是量子电路能够比经典电路加速多少倍,而是量子电路是否可以做到经典电路做到的事。
为什么要移除垃圾比特
对于经典比特来说,我不需要的比特,直接不要就可以了。我的后续操作中不涉及这些垃圾比特就没有关系,但是因为有量子相干的存在,如果我直接不管垃圾比特会让后续的测量得到完全不一样的结果。
例子:
令我们的目标函数是f(x)=x,A是没有垃圾比特的情况,即,我们输入什么输出什么。而B是有垃圾比特情况,第一个比特存目标答案,f(x)=x,第二个比特是我们的垃圾比特,假设这里的垃圾比特是junk(x)=x。
例子A:
在A的情况下,如果我们的输入是 12√|0〉+12√|1〉12|0〉+12|1〉 ,经过A门,还是 12√|0〉+12√|1〉12|0〉+12|1〉 ,在H门后,我们的比特又变成了 |0〉|0〉 ,此时测量,得到的结果一定是 |0〉|0〉 。
例子B:
在B的情况下,如果我们的输入是 (12√|0〉+12√|1〉)|0〉(12|0〉+12|1〉)|0〉 ,经过A门,则变成了12√|00〉+12√|11〉12|00〉+12|11〉 ,此时对第一个比特进行H门操作,得到结果 12|00〉+12|10〉+12|10〉−12|10〉12|00〉+12|10〉+12|10〉−12|10〉 。此时对第一个比特测量,得到的结果是 |0〉|0〉 或者是 |1〉|1〉 的概率是一样的。
因为有了第二个比特的存在,所以上述式子中的 −− 不能直接抵消第一个比特为 |1〉|1〉 的可能性,这也就是垃圾比特不得不移除的原因。
如何移除垃圾比特
垃圾比特对后续有影响,那么将他移除就好了,因为量子的操作是可逆的,所以怎么来的怎么回去。
但是在回去之前,把我们需要的目标 C(x)C(x) 的量子态用CNOT门复制出来就好。这样就得到了没有垃圾比特的结果。
可能有人想问,不是量子态不能复制吗?事实上,我们并没有复制 C(x)C(x) 的结果,当我们把结果从原来的比特上转移到y上后,原来的比特和垃圾比特又通过逆操作返回了最初的情况。垃圾比特最初的状态是 |0〉|0〉 ,并非叠加态的情况,量子的纠缠或者相干是因为有量子叠加态,不是纯态的原因,而今回到纯态,就不在造成影响。
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