环路稳定性的主要技巧与经验看了就知道

本系列的第4部分着重讨论了环路稳定性的主要技巧与经验。首先，我们将讨论45度相位及环路增益带宽准则，考察了在Aol曲线与1/β曲线以及环路增益曲线Aolβ中的极点与零点之间的互相转化关系。我们还将讨论用于环路增益稳定性分析的频率“十倍频程准则”。这些十倍频程准则将被用于1/β、Aol及Aolβ曲线。我们将给出运放输入网络ZI与反馈网络ZF 的幅度“十倍频程准则”。我们将开发一种用于在1/β 曲线上绘制双反馈路径的威廉希尔官方网站 ，并将解释为何在使用双反馈路径时应该避免出现“BIG NOT”这种特殊情况。最后，我们将给出一种便于使用的实际稳定性测试方法。在本系列的第5 部分中，这些关键工具的综合使用使我们能够系统而方便地稳定一个带有复杂反馈电路的实际运放应用。
环路增益带宽准则
已确立的环路稳定性标准要求在fcl 处相移必须小于180 度，fcl 是环路增益降为零时的频率。在fcl 处的相移与整个180 度相移之间的差定义为相位余量。图4.0 详细给出了建议用于实际电路的经验，亦即在整个环路增益带宽（f≤fcl）中设计得到135 度的相移（对应于45 度的相位余量）。这是考虑到，在实际电路中存在着功率上升、下降及瞬态情况，在这些情况下，运放在Aol 曲线上的改变可能会导致瞬态振荡。而这种情况在功率运放电路中是特别不希望看到的。由于存在寄生电容与印制板布局寄生效应，因此这种经验还考虑在环路增益带宽中用额外的相位余量来考虑实际电路中的附加相移的。此外，当环路增益带宽中相位余量小于45 度时，即可能在闭环传输函数中导致不必要的尖峰。相位余量越低及越靠近fcl，则闭环尖峰就会越明显。
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图4.0：环路增益带宽准则
图字（上下、左右）：Aolβ（环路增益）相位曲线、-135°“相移”、频率 （Hz）、45°“相位余量”环路稳定性标准：在fcl 处相移《 -180 度
设计目的：在所有《 fcl 的频率上，都有相移≤ -135 度
原因：因为Aol（开环增益）并不总是“典型”，考虑到实际电路布局与器件的寄生效应，存在着功率上升、下降及暂态现象→这些是未定义的“典型” Aol。
极点与零点转换威廉希尔官方网站
图4.1 给出了环路增益曲线与Aol 曲线之间的关系，并包括了一条1/β 曲线。此关系使我们能够利用厂商提供的运放数据资料中的Aol 曲线来在图中绘制我们的反馈曲线1/β。从这两张图，我们可以方便地推断出环路增益曲线中的情况，从而更加方便地总结出，为得到良好的稳定性我们应该对反馈进行怎样的调整。考虑到环路增益曲线是一条“开环”曲线，而Aol 已经是一条开环曲线，因此Aol 曲线中的极点就是环路增益曲线中的极点，而Aol 曲线中的零点就是环路增益曲线中的零点。1/β 曲线为小信号交流闭环增益曲线。如果我们想要断开环路来查看反馈网络的影响，则当分析网络时我们将看到一个倒数关系。用于记住从1/β 曲线到环路增益曲线转换的更简便方法就是，环路增益曲线是Aolβ 图，而闭环反馈曲线则是1/β 曲线。因此，既然β 是1/β 的倒数，那么1/β 曲线中的极点就成为环路增益曲线 （Aolβ） 中的零点，而1/β 曲线中的零点就成为环路增益曲线中的极点。
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图4.1：极点与零点转换威廉希尔官方网站
图字：
Aol&1/β 曲线、环路增益曲线 （Aolβ）
从Aol&1/β 曲线来绘制Aolβ 曲线：
Aol 曲线中的极点为Aolβ（环路增益）曲线中的极点
Aol 曲线中的零点为Aolβ（环路增益）曲线中的零点
1/β 曲线中的极点为Aolβ（环路增益）曲线中的零点
1/β 曲线中的零点为Aolβ（环路增益）曲线中的极点
（请记住：β 为1/β 的倒数）
十倍频程准则
图 4.2 详细描述了在环路增益曲线中的“十倍频程准则”。这些十倍频程准则将被用于1/β曲线，Aol曲线及Aolβ（环路增益）曲线，我们可以从Aol曲线及1/β曲线直接推导而来。对于本图所示的电路，Aol曲线在大约100kHz处包含了第二个极点fp2，这是因为存在容性负载CL及运放的RO，详细讨论将在本系列的第6 部分中给出。我们将建立一个满足我们环路增益带宽准则（即f≤ fcl时余量为45 度）的反馈网络。我们将利用我们对环路增益图（Aolβ） 的了解，使用1/β曲线及Aol曲线图来对反馈网络进行分析与综合。在环路增益曲线10Hz处给出了第一个极点fp1，这说明在10Hz处相移为 -45 度，在100Hz处相移为 -90 度。在1kHz、fz1、1/β曲线的零点处，我们在环路增益曲线上增加了一个极点，在1kHz处增加了另外 -45 度的相移。现在，在1kHz处，总的相移为 -135 度。
但如果我们从fz1 开始继续增加频率，则在10kHz处相移将达到 -180 度！因此我们增加了fp3，作为1/β曲线上的极点，这在环路增益曲线上是10kHz处的零点（在10kHz处相移为 +45 度，在10kHz以上及以下斜率为+45 度/decade）。这保证了1kHz处的相移为 -135 度，并使得从1kHz到10kHz的相位曲线都平坦地位于 -135 度（请记住极点和零点对于它们实际频率位置处的上十倍频程和下十倍频程频率都有影响）。fp2 在环路增益曲线100kHz处又增加了一个极点，这是因为fp2 是取自Aol曲线。在fp3 所在的10kHz 与fp2 所在的100kHz处，我们希望两者之间没有相移，因为fp3 是环路增益曲线的零点而fp2 则是环路增益曲线的极点。
因此，如果我们保持极点与零点之间相隔十倍频程，则可避免它们之间的相移继续减少，因为它们各自对所在位置的上、下十倍频程都有影响。环路增益十倍频程准则最后的关键点是， fp3 应置于距fcl 一个十倍频程远处。这是考虑到，在我们可以达到一个余量稳定状态以前，Aol 会向低频偏移十倍频程。当遇上最坏情况时，就是Aol 随时间和温度发生了漂移，此时，许多IC 设计者都会将观测到的数字2 读成1（也就是说，1MHz 的统一增益带宽运放可能会从500kHz 偏移到2MHz）。我们推荐我们的十倍频程准则，因为它更容易记住并在波特图上可以方便地看出。额外的相位余量设计不会带来不便，但如果同时要求带宽、稳定性与性能话，那么2 变1 准则仍不失为一个好的选择。
我们预计在环路增益离开100kHz以前，该电路的VOUT/VIN曲线都平的，之后它将跟随Aol曲线变化。
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图4.2：极点与零点转换威廉希尔官方网站
图字：环路增益图解： 极点：fp1、fp2 及fz1；零点：fp3
获得良好环路稳定性的经验：
将fp3 置于离fz1 的1 个十倍频程以内
fz1 处， fp1 和fz1 =-135°相移
fp3≤ decade 将避免相移进一步降低
将fp3 置于fcl 至少一个十倍程以下位置
容许Aol 曲线左移一个十倍频程
图4.3 给出了有关图4.2 所示电路的环路增益相位曲线的一阶人工分析预测。我们在1MHz 处增加了另一个极点fp4，来模拟真实世界中典型的双极点运放。
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图4.3：一阶环路相位分析
图字：单个极点和零点曲线、最终曲线
为检验我们的一阶环路相位分析，我们用Tina SPICE 构建了我们的运放电路，如图4.4 所示。同时我们还用SPICE 环路增益测试来对Aol 曲线与1/β 曲线进行了测量。
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图4.4：Tina SPICE 电路：SPICE 环路增益测试
图字：简单运放交流SPICE 模型
图4.5 给出了Aol 和1/β 的Tina SPICE 仿真结果，并将其与我们一阶人工分析进行了仔细的相关比较。
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图4.5：Tina SPICE 电路：Aolβ 与1/β
我们的Tina SPICE 仿真也被用来绘制环路增益与环路相位曲线。图4.6 给出了环路相位曲线，它是基于我们一阶人工分析得到的预测。
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图4.6：Tina SPICE 电路：环路增益与环路相位
图字：环路增益、环路相位
为检验我们的VOUT/VIN预测是否正确，我们将Tina SPICE电路修改成如图4.7 所示的电路并进行仿真。
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图4.7：Tina SPICE电路： VOUT/VIN
图字：简单运放交流SPICE 模型
图4.8 给出了VOUT/VIN的Tina SPICE仿真结果。我们看到VOUT/VIN传输函数从大约10kHz开始，有一个微小的上
升。这是因为环路增益由于存在Rn-Cn网络而开始明显下降。但这与我们得到的一阶人工分析预测结果相差不大。一个值得再次提醒的关键点是，VOUT/VIN并非总是与1/β一致。
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图4.8：Tina SPICE电路：VOUT/VIN 传输函数
ZI 和 ZF 幅度十倍频程准则
我们从本系列的第2 部分了解到ZI 和ZF 网络。图4.9 详细给出了ZI 输入网络中的幅度 “十倍频程准则”。如果我们标定Rn = RI/10（Rn 在数值上比RI 小“十倍”），则我们可以确定在高频情况下，当Cn 阻抗短路时，Rn将把高频设置为RF/Rn。这样标定使我们能更容易地绘出1/β 曲线中起主要作用的一阶结果。幅度十倍频程准则的另一个优势是它迫使我们加入极点/零点对——fp 与fz，这样在其彼此一个十倍频程以内，以及因此在fp 与fz之间，相移将保持平坦。
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图4.9：ZI 幅度十倍程准则
图字：
ZI：低频处1/β=RF/RI
标定Rn = RI/10
这样在高频处：
Cn=0
Rn 比 RI 占优势 →1/β≈RF/RI
fp=1/（2⋅π ⋅Rn ⋅Cn ）
fz=1/（2⋅π ⋅RI ⋅Cn ）
图4.10 给出了ZF 反馈网络中的幅度“十倍频程准则”。如果我们标定Rp = RF/10（Rp 在数值上比RF 小“十倍”），则我们可以确定在高频情况下，当Cp 的阻抗短路时，Rp 将把高频设置为Rp/RI。这样标定使我们更容易绘出1/β 图中起主要作用的一阶结果。正如在输入网络ZI 中一样，幅度十倍频程准则的另一个优势是它迫使我们加入一个极点/零点对fp 和fz，这样在其彼此一个十倍频程以内，以及因此在fp 与fz 之间，相移将保持平坦。
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图4.10：ZF 幅度十倍频程准则
图字：
ZF：低频处1/β=RF/RI
标定Rp = 1/10RF
这样在高频处：
Cn=0
Rp 比 RF 占优势 →1/β≈Rp/RI
fp=1/（2⋅π ⋅RF⋅Cp ），fz=1/（2⋅π ⋅Rp⋅Cp ）
双反馈路径
随着本系列的不断深入，我们将看到，常常运用反馈电路来确保获得良好的运放稳定性，需要使用一个以上的反馈路径。为更方便地分析和综合此类多级反馈，我们将使用叠加原理。图4.11 定义了叠加原理。在此，我们将先单独分析每个影响，然后再将主要影响作为我们反馈的最终结果。
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图4.11：叠加原理
摘自：Smith，Ralph J，“电路、器件与分析”，John Wiley&Sons 公司，1973 年第三版，纽约。
图字：
叠加原理：如果起因和影响线性相关，则同时起作用的几个起因造成的总的影响就等同于单个起因每次单独作用的影响之和。
在图4.12 中，我们看到一个使用了两条反馈路径的运放电路。第一条反馈路径FB#1，位于运放的外部，经过Riso和CL后返回，并经过RF和RI回到运放的输入端。第二条反馈路径FB#2，位于运放的外部，经过CF然后返到运放的输入端。这里分别绘制了与这些反馈等效的1/β曲线。此推导的详细过程将在本系列的后续部分给出。当围绕运放使用一个以上反馈路径时，为运放提供最大反馈电压的反馈路径就成为主要的反馈路径。这意味着如果为每个反馈都绘制了1/β图，则在给定频率处，1/β最小的反馈就将在该点起主要作用。请记住，最小的1/β即最大的β，而由于β=VFB/VOUT，因此最大的β即表明反馈到运放输入端的电压最大。请记住一个简单的类比，即：如果两个人对着你的同一只耳朵讲话，那么哪个你听得更清楚一些呢——当然是讲话声较大的那个！所以运放将会“听”具有最大β或最小1/β的反馈路径。在FB#1 或 FB#2 的任何频率上，运放所看到的的净1/β曲线应该是较低的那个。
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图4.12：双反馈网络
图字：
类比：两个人同时对着你的耳朵讲话。你更能听见哪个呢？当然是讲话声大的那个！
双反馈：有两条反馈路径在对运放“讲话”，它主要倾听反馈电压较大的路径 （β = VFB/VOUT），这意味着最小的1/β值！
双反馈网络：
- 采用叠加原理
- 分析每个FB#1/β 并绘图、
- 最小FB# 决定了1/β
- 1/β=1/（β1-β2）。
当围绕一个运放使用双反馈路径时，有一个极其重要的情况必须避免，即“BIG NOT”。如图4.13 所示，其中的运放电路导致反馈路径中产生BIG NOT 现象，该现象在1/β 曲线中可看到，图中1/β 斜率从+20db/decade 突然变成了-20dB/decade。这种改变意味着，在1/β 曲线上有中一个复共轭极点，这样相应地在环路增益曲线上即有一个复共轭零点。复零点与极点在其对应的频率上引起一个 +/-90 度的相移。此外，复零点/复极点的相位斜率，在其出现频率位置附近的一个狭窄频带内可从+/-90 度变化至+/-180 度。复零点/复极点的产生在闭环运放响应中可能会引起严重的增益尖峰，这是很不希望看到的情况，尤其在功率运放电路中。
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图4.13：双反馈与BIG NOT
图字：警告：这对你的电路可能很危险！
双反馈和BIG NOT：
1/β 斜率从+20db/decade 变成-20dB/decade
- 表明在1/β 曲线上有一个“复共轭极点”
- 表明在Aolβ（环路增益）曲线上有一个“复共轭零点”
- 在复零点/复极点的频率处有+/-90 度的相移
- 在复零点/复极点所出现频率位置附近的一个狭窄频带内，相位频率可以从+/-90°/decade 变化至+/-180°，这取决于不同的阻尼系数
- 复零点/复极点在闭环响应中可能会引起严重的增益尖峰
图4.14 给出了不同阻尼系数情况下复共轭极点的幅度图。不论阻尼系数如何，极点都表现为双极点且斜率为-40dB/decade。但相位将给出不同的情况。
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图 4.14：复共轭极点幅度举例
摘自：Dorf， Richard C.，“现代控制系统”，Addison-Wesley 出版公司，麻省雷丁，第三版，1981年。
图4.15 给出了复共轭极点的相位图。很明显，由于阻尼系数不同，故相移相对于单纯双极点而言可能会有极大的不同。在双极点情况下，我们预计在该频率处的相移为 -90 度，斜率为-90 degree/decade（阻尼系数 =1）。
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图4.15：复共轭极点相位举例
摘自：Dorf， Richard C.，“现代控制系统”，Addison-Wesley 出版公司，麻省雷丁，第三版，1981年。
实际稳定性测试
完成一阶人工分析后，再用SPICE 仿真来进行合理性检查，我们即能建立起自己的运放电路。如果有一种简便的方法可以判断实际相位余量是否就是我们分析得到的预测结果的话，那么这将带来许多便利。许多实际运放电路都是双极点、二阶及系统响应这些因素占优势。参见图4.16，一个典型的运放Aol 曲线在10Hz 至100Hz 范围内有一个低频极点，在其统一增益转换频率处、或者其后不远处有另一个高频极点。如果采用单纯的电阻反馈，我们会看到环路相位曲线将呈现出双极点系统效应。对于更复杂的运放电路来说，总的环路增益与环路相位曲线通常都是由双极点响应来决定的。二阶系统的闭环行为得到了很好的定义，并能为我们提供一种用于实际稳定性检查的强大威廉希尔官方网站 。
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图4.16：运放电路的交流行为
图字（上、下）：大部分运放电路都采用众所周知的二阶系统响应行为来进行充分的分析，模拟及进行测试。
大部分运放都有两个极点占优势：
Aol 曲线给出了一个低频极点fp1
Aol 曲线还有一个高频极点fp2
fp2 通常位于fcl 处以获得统一增益
这就在统一增益处产生45 度的相位余量
图4.17 给出了详细的实际暂态稳定性测试。将一个小幅度方波馈入闭环运放电路中作为VIN源，在环路增益带宽中选择一个频率，但这个频率要足够高以便于触发示波器。1kHz对大部分应用来都说是一个不错的测试频率。调整VIN以使VOUT为200mVpp或更小。我们感兴趣的是电路的小信号交流行为，以找出交流稳定工作点。为此，我们不希望在输出上有较大的信号摆动，这可能也包含了一些大信号限制，例如摆动速率、输出电流限制或输出级电压饱和等。Voffset提供了一种机制，以在整个输出电压范围内上下移动输出电压以寻找在所有工作点条件下的交流稳定工作点。对许多电路（尤其是驱动容性负载的电路）来说，最差的稳定性情况是输出接近于零（对双电源运放应用）、且直流负载电流很小或完全没有的时候，因为这样会导致运放的开环小信号阻抗RO达到最大值。记下方波输出上的过冲与振铃量，并将其与图4.18 所示的二阶瞬态曲线进行对比。从与您的测量电路最匹配的曲线上记下相应的阻尼系数。在图4.19 中 的二阶阻尼系数比相位余量曲线的y轴上找出此相应的阻尼系数，X轴包含了二阶电路的相位余量。
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图4.17：实际瞬态稳定性测试
图字：测试技巧：
- 选择测试频率《 - 调整VIN幅度以产生“小信号”交流输出方波
- 通常最坏情况是当Voffset=0 时→ 最大运放RO值 （IOUT=0）
- 任意改变Voffset来检验所有输出工作点，以找出稳定工作点
- 令范围＝交流耦合与扩展垂直范围刻度，以便找出VOUT小信号方波上的过冲、下冲及振铃量。
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图4.18：二阶瞬态曲线
摘自：Dorf， Richard C.，“现代控制系统”，Addison-Wesley 出版公司，麻省雷丁，第三版，1981年。
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图4.19：二阶阻尼系数比相位余量