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量子力学基础理论之一一维量子系统的应用

2020-7-9 09:06:01 2435

0 量子力学基础理论之一一维量子系统的应用量子力学开启了当今世界现代的量子计算与与通讯的大门（俗称，我国5G---->>>6G），这里见识一下其一维量子系统的应用，展示了基础理论的巧妙之处和威力。（待续）（内容下附的原文图表页码，其中的专业威廉希尔官方网站字母符号算式表格形式及其读音等等一一参照对应，符合国际标准） ********************************** 第十章一维量子系统的应用 172页 1. 一个盒子或者无限势能阱里的粒子想象一个一维盒子里的一个质量m的粒子，具有完整刚性的壁在x=0？和x=L？，局限粒子到范围定义为0 +00 +00 V V=0 0 L x 图10-1 无限势能阱用以保证墙壁内没有渗入。所以，在x=0和在x=L粒子的波函数必须是零。由于V=0在阱内，方程9.17成为。。。？h2/2md2U//dx2=EU/?（二级x常微分方程）。。。，或者。。。？d2U//dx2+k2U/=0(二级x常微分方程)。。。 ******************* 1. 一个盒子或者无限势能阱里的粒子 173页这里？k2=2mE/h2?. 如我们在例9-2所见，这个方程的解答格式是？？U/=Asinkx+Bcoskx. 使用边界条件?U/=0?在x=0，我们看到B必须是零。所以，解答是正弦函数。从条件当x=L时U/=0我们找到k必须满足关系式。。。？kL=npai.？。。。所以，我们找到。。。？En=h2k2/2m=n2pai2h2/2mL2，？。。。（10.1）且本征函数是。。。？U/n=Asinknx.?。。。 (10.2) 最低能量和它们的概率密度的示例在图10-2。对于无限阱解答数是无限的。 ?U/123, ?\|U\|/123, E1, 491625E？图10-2 一些本征函数，概率密度，和无限阱内的能量等级。注意粒子仅仅具有的能量是离散值？E1=pai2h2/2mL2？，？E2=4E1，E3=9E1，....., ?En=n2E1. 一位很可能会问到最低的状态不是？E1=pai2h2/2mL2?而是E=0。一种回答这种问题的说法是如果？n=0，那么k=0并且?U/=0,在阱内到处都是。但是如果U/?在阱内是零，那么?\|U/\|2?是零而且阱内没有任何粒子。 -------------------------------------------- 例10-1 一颗经典的粒子可以永久地停留在一个阱内。即，相对于阱的底部它可能据有零动能和零势能。可是，对于一颗量子粒子不确定性原理禁止这样。显示动 ******************************** 第十章一维量子系统的应用 174页能由不确定原理提供一个合理的基态能量估算。解答最小不确定积？A.Ap?是一个？h？次方的数。让。。。?Ax.Ap?=h/2?.。。。那么，对于？Ax=L，。。。？Ap=h/2L？.。。。为了动量具有一个？h/2L?的不确定性，它必须至少有？h/2L?这么大。那么，粒子的最小动能必须是。。。？Emin=p2/2m=h8ml=4pai2h2/8mL2=pai2h2/2mL2.？。。。其与上述获得的结果一致。 ------------------------- 例10-2 规范化方程10.2给出的无限阱的波函数。解答为了规范一个波函数，我们要求它的平方的积分对所有的空间是统一体。由于波函数到处都是零除了阱内，我们需要仅仅积分空间？0 。。。？1=L~0\|Un\|2dx=\|A\|2L~0sin2knxdx=\|A\|2.L/2.。。。所以。。。？A=2/L-1/2?和?U/n?=?2/L-1/2sinknx.。。。 ==================== 2. 自由粒子和一个有限的势能阱如图10-3所示一个有限深度的势能阱。阱的底部是零势能而阱的顶部是？V0？势能。无论何时一颗粒子获得了足够的动能把它带到顶部，粒子会逸出成为一颗自由的粒子。如我们先前所见，一个自由粒子的波函数是一个平面波，可以示意为一个连续的正弦或者余弦函数（方程9.6）。相应地，一个粒子具有总能量？E大于？V0？，波函数会是一个连续的正弦，但是它会经历波长的变化，以及在阱边的速度，和幅度。为了理解这一点，让我们详细考虑空间的每个区域。在区域1和3，即x<-a和x>a,能量的本征方程是。。。？d2U//dx2Z+2m/h2(E-V0)U/=0.?（x的二级常微分方程）。。。区域1的一般解答是。。。？U/1=Aeik1x+Be-ik1x(对于x<-1a), (10.3) ************************************* 2. 自由粒子和一个有限势能的阱 175页 E V0 123 x -a0a 图10-3 一个方形阱势能. 这里？hk1=2m（E-V0）-1/2？。第一项是一个和谐波向右移动，而第二项是一个波向左移动。即，A代表一颗从左入射的粒子的幅度。B代表从右的净幅度由于来至右边的入射粒子的组合和来至边界的反射x=-a和x=a。在区域2，粒子的势能是零而动能等于总能量E。那么能量本征方程成为。。。？d2U//dx2+2mE/h2=0,(二级x的常微分方程)?。。。其具有一般的解答。。。？U/=Ceik2x+De-ik2x(对于-a 这里？hk2=2mE-1/2.？这里C是向右移的发射和反射的波的净幅度；D是向左的净幅度。明显？k2>k1?, 从此跟着？r1>r2. 所以在阱的边界内区域的波长比阱外的波长短。在区域3，这里k-值与区域1内的相同，能量方程的一个解答是。。。？U/=Feik1x+Ge-ik1x(对于x>a).。。。 (10.5) 这里F考虑了从左向右移动的入射和反射粒子两种，而G这里仅仅为从右边入射的粒子的幅度。发生在区域边界的幅度的变化可以如下校正。在区域中粒子移动快不太容易找到。为此在较高速度的区域概率幅度会较小，即此处的波长较短。上述讨论帮助我们理解量化特征 ******************************* 第十章一维量子系统的应用 176页粒子波函数。可是为了获得一个表现良好的函数来代表粒子，我们要求函数是单值且它和它的导数在每个区域的边缘连续。这些条件的数学陈述如下：。。。？？和？？。。。. 还有，。？（x一级常微分方程）？和？（x一级常微分方程）.？。} （10.6）通过这些关系的方式，方程10.3之10.5中的四个系数可以以一个代表另一个来表达。通过使用初始条件或者假设甚至有可能进一步简化。例如，如果没有粒子从右边入射而所有的粒子都仅仅来至左边，那么?A=而G=0？. 那么所有的系数可以用入射粒子通量A的幅度来表示。一自由粒子与一个有限阱作用的一个波函数显示如图10-4波标记为?E>V0?. E>V0? V0, E=431 x=0 图10-4 方阱势能的本征值。 ***************************************** 3. 束搏于一个有限势能阱的粒子 177页 3. 束搏于一个有限势能阱的粒子我们见到一个量子粒子像他的经典同伴，当它的动能足够大时会从一个势能阱中逸出。量子颗粒还有另一方面的行为，可是对照于常理的经典粒子世界对照鲜明。这种现象已知为“障碍渗透。”发生的什么是指一个束搏粒子的波函数“漏掉”进入了阱的每一边墙壁。渗透距离不是很大，因为在经典的禁区波函数呈现指数衰减。除此之外，很快就明确了它的发生并且它具有一些重要的影响。如我们较前所做在三个区域让我们简单地看看波的函数。在区域1和3没有如前的波移动，因为总的粒子能量小于？V0>E.如果我们这样定义量K1？。。。？K1=ik1=1/h2m（V0-E）-1/2，？。。。（10.7）则方程式10.3成为。。。？U/=Aek1x+Be-k1x,?。。。。这里k1是实数。现在对于x的负值第一项以指数性衰减，而第二项以指数性增加。对一个较好行为的波函数后者不能允许，所以只能使用第一项。在第二区域，?U/2与以前的格式相同，例如方程10.4. 在区域3，我们发现U/3?对正x发散，除非方程式10.5中的F？设定为零。我们的三个解答则变成： ?U/1=Aek1x 对于 x<-a }? ?U/2=Ceik2x+De-ik2x 对于 -a ?U/3=Ge-K1x 对于 x>a }? 在方程10.6中给出的使用边界条件的一次数学分析获得的结果是?C=+-D？. 对于？C=D？我们还得到A=G，并且U/2成为了一个余弦函数。那么解答是关于阱的中心的对称，如图10-4中的E1？和E3？所示。对于C=-D我们得到A=-G？，且U/2?成为了一个正弦函数即关于阱中心的反对称，如同一图中的E4？所示。注意墙壁渗透的增加随能量的增加而增加。一般地讲，阱越深越宽，波函数泄露的更少。在一个阱中束搏一个粒子的“力”的测量大约是它的深和宽的乘积。在一个“强”的阱中，波函数和束搏态可以近似为那些有限阱由方程10.1和10.2给出. ************************************ 第十章一维量子系统的应用 178页 4. 隧道通过障碍假设如图10-5两个等同的势能阱由一个窄的障碍分开，如图10-6所示示意。术语“窄”有点模糊由于它还取决于阱的“强”度。（a）（b）图10-5 对于两个方阱问题的对称和反对称波函数. （a）（b）图10-6 两个等同的阱由一个窄的障碍物分离. *********************************** 4. 隧道通过障碍 179页可是让我们更特别一点，意思是一个窄的障碍的宽度比一个已知波函数的渗透深度小。但这发生时，波函数可能漏过障碍，且称粒子经隧道到了另一个阱。隧道现象严格地讲是量子力学，其没有经典的类似。在有益于隧道的条件下，在足够的时间过去发生隧道现象，不可能知道那个阱含有粒子。那么在两个阱内找到粒子的概率是相等的。两个概率如图10-5显示示意，对于两个分的交款的阱，和图10-6对于两个据有窄障碍的阱。在（a）在两个阱中总的波函数是对称的，在（b）它是反对称的。这两种状态的能量不是相同的，并且能量分裂增加随着障碍的宽度减少。如图10-7示意。下面量化的讨论有益于理解能量的分裂。 U/？如b所示（反对称）？R---> U/? 如a所示（对称）图10-7 能量比障碍宽度R. 在障碍消失于极限，对称的波函数对应于一个阱的基态，具有原始阱的两倍；所以对称状态的能量减少。换句话说，当阱？？？？反对称函数对应于双倍宽度的阱的初始激发态。所以，由于阱的宽度增加而能量减少会更加补偿通过激发粒子从基态到第一态. 这种模型的最重要的特征是两个阱的交互，它们分开较远具有相同的能量等级，分裂每个原始能量等级为两级。 ************************************ 第10章一维量子系统的应用 180页 5. 和谐振荡器当一个质量m从它的平衡位置有一个位移造成的一个恢复力正比于位移x，我们可以从数学上表达如下。。。?Fx=-Kx.?。。。（10.9）常数K？已知为力常数或者弹性系数。可以方便地得到储存于弹簧里势能，通过计算达到位移x所做的功。即，。。。？V=-W=-x~0Fxdx=-x~0-kxdx=1/2K2.？(x常积分方程)。。。 (10.10) 如果释放质量，系统会简单地和谐移动震荡（对于一个小的位移），以一个角频率得出。。。？w=K/m-1/2.?。。。（10.11）从方程10.11我们会表示K？为？K=？w2m，？并且势能V会列为。。。？V=1/2w2mx2.？。。。（10.12）在方程9.17中使用这种势能，我们得到以波的力学形式得到和谐的震荡器方程：。。。？d2U//dx2+[2mE/h2-(mw/h)2x2]U/=0.?（x二级微分方程）。。。（10.13）很方便用替代简化这个方程式。。。？a=wm/h 及？b=2mE/h2.。。。（10.14）那么方程式10.13成为。。。？d2U//dx2+(b?-a2x2)U/=0.。。。（10.15）解答这个方程的步骤超出了本名著的范围，但是在这种情况下有可能猜出一个解答；如果解答满足薛定谔方程，它可以接受。做为一个可能的解答让我们考虑函数。。。U/?=Aexp(-Cx2).。。。（10.16） --------------------------------------------------- 例10-3 （a）显示方程10.16是方程10.15的一个解答，并且估算了常数C.(b)找到对应于这种状态的能量. ************************* 5.和谐振荡器 181页解答（a）。。。？（x一二级微分方程组）？。。。。。。？（x一二级微分方程组）？。。。那么，。。。？？？。。。所以。。。C=a/2=b/2=wm/2h?。。。（b）由于？b=a？，。。。?2mE/h2=wm/h?。。。所以。。。？E=wmh2/2mh=1/2wh.?。。。 ================================= 当例10-3例的结果替换时，建议方程10.16的函数成为。。。？U/?=Aexp(-wmx2/2h).?。。。（10.17）对应于这种态的能量是？E=1/2wh？，并且我们辨识这种态为一维振荡器的基态。由于和谐振荡器的能量级由一个分离能量hv=wh（见章节5.4）均匀隔离，第n个态的能量给出。。。？En=wh（n+1/2）,？。。。（10.18）这里n=0？对应于基态。和谐振荡器的能量级示意图如10-8所示。较高级态的波函数更为复杂。一般地它们包含一个系数类似于方程10.17乘以一个x多项式。概率密度对一些较高态如10-9所示，这里它们比较了 *********************************** 第十章一维量子系统的应用 182页 n=123，....10 。。。?q-->(q-ax1/2)?。。。图10-9 少数几个振荡器态的概率密度。点状曲线显示经典的概率对应于相同的能量。（允许使用来至1959年）。经典概率。在一个经典震荡其中，例如一个简单的单摆或者挂在一根线绳上的质量，当质量通过它的零位移点时具有最大的速度，并且当它到达移动的端点时会瞬间静止。所以，它在移动的中心点花费最少的时间并且 **************************** 5. 和谐振荡器 183页在端点时间最大。这与图10-9的点状图一致，它显示了经典概率。量子力学的波形图有些看来不同于经典的对与n=0态，但是明显地当n增加时一致性显著增加。 ---------------------------------------------------- 例10-4 规范化基态波函数给一维和谐振荡器以致找到粒子的总概率是统一体。解答在章节8.3讨论波函数的规范。为了规范？U0/我们如下进行：。。。？1=（x积分方程求解）？。。。则，。。。？A=（wm/paih）1/4,?。。。及规范化的波函数是。。。？U/=?.。。。（10.19） ------------------------------ 例10-5 找在x=0处的概率密度，给和谐振荡器的基态波函数，方程10.19. 解答。。。？p（x）dx=？。。。。。。？dx=（？）dx.？。。。 ---------------------------------------------- 例10-6 找和谐振荡器基态的x？和x2？的期望值，方程10.19.（使用附录E的积分.）解答使用方程9.29，x的期望值是：。。。？（x）=？（x二级积分方程）dx？。。。由于U/0?规范了，分母是统一的我们可以列出 ******************************************** 第十章一维量子系统的应用 184页。。。？（x）=（x指数积分方程）dx？。。。 =0（奇数积分估算在对称极限）。以类似的方式，x2？的期望值是。。。（x2？）=（x二级指数积分方程）dx？。。。 ------------------------------------------------------- 例10-7 为一维和谐振荡器的基态寻找动量p？和它的平方p2？的期望值. 解答我们注意到表9-1中的操作符px？是?-ihd/dx(x的偏导数)?.那么规范函数U0/?动量的期望值是：。。。？（偏微积分方程推导）？。。。 =0（奇数积分估算在对称极限）。另外，。。。？（偏微积分方程推导）？。。。 ===================================== 小结在这一章中薛定谔波方程应用到几个一维度的量子系统，从无线势能阱内开始，其中所有的允许能量态是束搏态。接着处理了有限阱，并且束搏态和自由态两种情况都讨论了。介绍了隧道通过窄的障碍，并且显示一个粒子的波函数与多于一个阱作用必须列出为一个单经波函数的线性组合。本章节结束简单地介绍了一维度和谐振荡器的势能。 ********************* 原文页码图表如下所附：（上述内容所附的原文图表页码，其中的专业威廉希尔官方网站字母符号算式表格形式及其读音等等一一参照对应，符合国际标准）多多赐教，指导！新广州 2020-07-09 0
2020-7-9 09:06:01　　评论淘帖0 举报相关推荐 • 量子力学经典理论则五量子力学的原子理论应用 2326 • 量子力学基础理论经典之二原子的量子理论 2346 • 世界经典量子力学则二，原子的量子力学理论小结（续完） 1748 • 量子力学原理下载 5734 • 量子力学经典量子力学的原子理论应用之空间量化 3016 • 什么是量子力学?什么叫量子力学? 27845 • 量子力学经典量子力学的原子理论应用之蓝德g系数和塞曼效应 2766 • 量子力学三大定律量子力学的作用 19866 • 量子力学的固态物理应用 1672 • 量子力学的定义是什么量子力学三大基本原理 10417